Как отбирать корни после решения тригонометрического уравнения на отрезке без пи,например, х=пи/2+пи к ; отрезок (4,5; 7,5)

Тут можно разными Есть как минимум
1) зная, что прикинуть, чему равно . Ну, и исходя из этого, сразу видно, какое должно быть k, В этом примере как раз 1,57+3,14=4,71. Т.е. при k=1 попадает в интервал. Следующий корень уже будет 4,71+3,14=7,85, т.е. уже точно выходит за интервал.  Поэтому при k=2 в интервал не попадает. Но все это годится в примерах, когда числа небольшие, и все очевидно на глаз.
2) Самый точный составить неравенство, задающие условие на k, а именно, по условию должно быть

Решаем его:

с округлением, скажем, до 2-х знаков:
. Т.е. видно, что возможно только одно целое k=1.