Найти общее решение дифференциального уравнения: - вопрос №3495358 от chuckcher 03.09.2022 01:21

Question

Алгебра: Найти общее решение дифференциального уравнения: (x cos y - y sin y) dy + (x sin y + y cos y ) dx= 0

chuckcher · Answer

Допустим, R(x,y)=xsin(y)+ycos(y) и S(x,y)=xcos(y)-ysin(y).
Это не строгое уравнение,т.к. R'(x,y)=xcos(y)-ysin(y)+cos(y)≠cos(y)=
dS(x,y).
Найдем интегрирующий фактор u(x), такой что u(x)*R(x,y)+u(x)dy*
S(x,y)=0.
Это означает: (u*R(x,y))'=d(u(x)*S(x,y)):
(cos(y)+xcos(y)-ysin(y)u(x)=du(xcos(y)-ysin(y))+cos(y)u(x)

(cos(y)+xcos(y)-ysin(y)u(x)=du(xcos(y)-ysin(y))+cos(y)u(x)

$\frac{du}{u}=1$
ln(u)=1

e^x(xsin(y)+ycos(y))+(e^x(xcos(y)-ysin(y))dy=0

Допустим, P(x,y)=e^x(xsin(y)+ycos(y)) и Q(x,y)=e^x(xcos(y)-ysin(y)).
Это строгое уравнение,т.к. P'(x,y)=e^x(xcos(y)-ysin(y)+cos(y))=dQ(x,y).
Введем f(x,y), такой что df(x,y)=P(x,y) и f'(x,y)=Q(x,y):
Затем, решение будет для f(x,y)=c1, где c1- произвольная переменная.
$f(x,y)=\int{e^x(ycos(y)+xsin(y)} dx=e^x(ycos(y)+sin(y)(x-1)+g(y)$ ;
где g(y)- некоторая функция от y.
f'(x,y)=(e^x(ycos(y)+sin(y)(x-1))+g(y))'=

f'(x,y)=(e^x(ycos(y)+sin(y)(x-1))+g(y))'=

Сделаем замену f'(x,y)=Q(x,y):
e^x(cos(y)+cos(y)(x-1)-ysin(y))+g'(y)=e^x(xcos(y)-ysin(y))

Возьмем g'(y):
g'(y)=0

$g(y)=\int0\ dy=0$
Подставим g(y) к f(x,y):
f(x,y)=e^x(ycos(y)+sin(y)(x-1))

Получаем решение:
e^x(ycos(y)+sin(y)(x-1))=c_1