Войти Регистрация Спроси ai-bota

Докажите справедливость формулы методом индукции (формула суммы первых n членов прогрессии)

Ответ:

annuwka1

02.10.2020 06:07

Геометрическая прогрессия
$Sn= b_{1} + b_{1} q + b_{1} q^{2} + ... +b_{1} q^{n}$

Утверждение
$Sn= b_{1} \frac{ q^{n+1}-1}{q-1}$

доказательство по методу полной математической индукции
1. Утверждение справедливо для n = 1:
$S_{1} = b_{1} + b_{1}q= b_{1} (1+q)$
Утверждение для n=1: $S_{1} = b_{1} \frac{ q^{2}-1}{q-1} = b_{1} \frac{ (q+1)(q-1)}{q-1} = b_{1} (q+1)$
2.
2.1 предполагается справедливость утверждения при любом натуральном n=k
$S_{k} =b_{1} \frac{ q^{k+1} }{q-1}$
2.2 доказывается справедливость утверждения для числа n=k+1
$S_{k+1} = (b_{1} + b_{1}q + b_{1}q^{2}+ ...+ b_{1} q^{k}) + b_{1}q^{k+1} = S_{k} +b_{1}q^{k+1}$

доказательство, что $S_{k+1} =b_{1} \frac{ q^{k+2} }{q-1}$ :

$S_{k+1} = b_{1} \frac{ q^{k+1}-1}{q-1} + b_{1}q^{k+1}$
$\\ = b_{1} \frac{ q^{k+1}-1}{q-1} + b_{1}q^{k+1} \frac{q-1}{q-1} = b_{1} \frac{(q^{k+1}-1) +(q^{k+1}q -q^{k+1}) }{q-1}= b_{1} \frac{q^{k+2}-1}{q-1}$

0,0(0 оценок)

Популярные вопросы: Алгебра

Scenic1

16.10.2021 03:04

Изобразите на числовой прямой объединение и пересечение множеств A=[2,корень17], B=(4;5)...

БПАНган

25.07.2022 20:29

Выбери промежутки убывание и возрастание функций....

ЛизаБугакова

18.08.2020 06:53

решить уравнение: 6y-0,3(y-4)=1,5 Заранее ! Это 7 класс...

MozgVeka

10.01.2022 23:22

1. Функция задана формулой y = -4x2 - 3x -1. 1.1. Найдите y(-3).1.2. Определите при каких значениях аргумента значение функции равно -2.1.3. Принадлежит ли графику функции точка...

Инна1234432114865

30.03.2023 05:56

Нужно построить график функции...

ФилиситиФорНау

06.03.2020 20:15

Решить неравенство : 6-5x = 2 нужно...

AntonovnaAlina200

06.03.2020 20:15

Одночлен к стандартному виду: –4b*0,25b^4...

anara01051979

06.03.2020 20:15

Найти p процентов от числа а, если: 1)a=400, p=27 2)a=2.5, p=120 3)a=2500, p=0.2 4)a=4.5, p=2.5 найти число, если p процентов от него равны b: 1)p=23, b=690 2)p=3.2, b=9.6 3)p=125,...

Dan4ik1111111111

07.06.2023 10:38

Известно, что 4а + 8b = 10.найдите значение выражения : 1) 2b + a ; 2) числитель 5 , черта дроби знаменатель a + 2b ; 3) числитель a в квадрате + 4ab + 4b в квадрате , черта дроби...

zifu

07.06.2023 10:38

Решите уравнение: 2х+1/3-5х-2/4=0 выражение: (а-3)2 - (2-а)2 решите неравенство: 3х+4 2х+5 найдите значение выражения: sin52-sin8= решите уравнение: 2х-1=-х+3; 2х2+3=11; 3х+0,4х2=0...

Полный доступ

Позволит учиться лучше и быстрее. Неограниченный доступ к базе и ответам от экспертов и ai-bota Оформи подписку