10-11 класс 1 составьте уравнение касательной к графику функции у=2х(в квадрате) +1 в точке х0=2 2 для функции f(x) = - x(в кубе) + 3х +2найдите: а) промежутки возрастанию и экстремумы функции; б) наибольшее и наименьшее значение на отрезке [1 ; 3]

Задание 1  

Составьте уравнение касательной к графику функции  

у=2х²+1 в точке Х₀=2

Уравнение касательной:

у(кас)= f(x₀)+f`(x₀)*(x-x₀)

найдем f(x₀)=2*2²+1=9

найдем f`(x)=(2x²+1)`=4x

f`(x₀)=4*2=8

Тогда уравнение касательной

у(кас)=9+8(х-2)=9+8х-16=8х-7

Задание 2  

Для функции f(x) = - x³ + 3х +2

Найдите:

а) промежутки возрастания и экстремумы функции

Найдем производную нашей функции

f`(x)= -3x²+3

найдем нули производной

f`(x)=0

-3x²+3=0; x²=1; x=±1

точки экстремума х=±1

Теперь определим промежутки возрастания и убывания

для этого определим знаки производной на промежутках

__- -1+1-

убывает        возрастает     убывает

промежутки убывания (-∞;-1]∪[1;+∞)

промежутки возрастания [-1;1]

точка х= -1 точка минимума

точка х=1 точка  максимума

б) наибольшее и наименьшее значение на отрезке [1 ; 3]

На данном отрезке функция убывает, значит

при х=1 наибольшее значение f(1)= -1³+3*1+2=4

при х= 3 наименьшее значение f(3)= -3³+3(3)+2= -27+9+2= -16