Докажите, что при n более трех, крайней мере одна цифра числа n в квадрате, парная

4^2=16 (6 - четная)

5^2=25 (2 -четная)

6^2=36 (6-четная)

7^2=49 (4 -четная)

8^2=64 (6 - четная)

9^2=81 (8 - четная)

При n>=10 число n=10k+m, где, k - некоторое натуральное число, а m -одна из цифр

n^2=(10k+m)^2=100k^2+20km+m^2

Последние две цифры числа определяются последними двумя цифрами суммы 20km+m^2. Расммотрим все возможные варианты

Если m - четная, так как произведение четных чисел четное, то последняя цифра числа n - будет четной.

Если m=1, то 20k*1+1^2=20k+1=10*(2k)+1 и цифра десятков при любом k будет четной

Если m=3, то 20k*1+3^2=20k+9=10*(2k)+9 и цифра десятков при любом k будет четной

Если m=5, то 20k*1+5^2=20k+25=20k+20+5=10*(2(k+1))+5 и цифра десятков при любом k будет четной

Если m=7, то 20k*1+7^2=20k+49=20k+40+9=10*(2(k+2))+9 и цифра десятков при любом k будет четной

Если m=5, то 20k*1+9^2=20k+81=20k+80+1=10*(2(k+4))+1 и цифра десятков при любом k будет четной

Все варианты рассмотрены из них следует что либо число единиц, либо число десятков будет четной цифрой. Доказано.