logo
Войти Регистрация Спроси ai-bota
В
Все
Х
Химия
В
Видео-ответы
А
Алгебра
Г
Геометрия
О
ОБЖ
Д
Другие предметы
У
Українська література
Р
Русский язык
Б
Беларуская мова
У
Українська мова
Э
Экономика
Ф
Физика
М
Математика
Ф
Французский язык
Г
География
И
Информатика
М
МХК
О
Окружающий мир
П
Психология
Н
Немецкий язык
О
Обществознание
П
Право
И
История
М
Музыка
Л
Литература
Қ
Қазақ тiлi
Б
Биология
А
Английский язык
milimili95
milimili95
01.05.2023 04:59 •  Алгебра

Положительные числа a, b, с таковы, что abc =1. докажите неравенство

Ответ:
Lopsiwk
Lopsiwk
02.10.2020 03:59
 
abc=1\\
\frac{1}{a^3(b+c)} + \frac{1}{b^3(a+c)} + \frac{1}{c^3(b+a)} \geq \frac{3}{2}\\\\
 
После приведения под общим  знаменатель,получим                     
\frac{(ab+ac+bc)(a^3b^3+a^3c^3+a^2b^2c^2+b^3c^3)}{a^3b^3c^3(a+b)(a+c)(b+c)} = \\\\
abc=1\\\\
\frac{(ab+ac+bc)(a^3b^3+a^3c^3+b^3c^3+1)}{ (a+b)(a+c)(b+c)}

  
 Теперь по неравенству о средних получим 
 \frac{a^3b^3+a^3c^3+b^3c^3}{3} \geq \sqrt[3]{a^6b^6c^6}=a^2b^2c^2=1
 то есть a^3b^3+a^3c^3+c^3b^3 \geq 3 с учетом того что a0;b0;c0 
Так же            (a+b)(b+c)(a+c)=a^2b+a^2c+ab^2+ac^2+b^2c+bc^2+2\\
\frac{a^2b+a^2c+ab^2+ac^2+b^2c+bc^2}{6} \geq 1\\
a^2b+a^2c+ab^2+ac^2+b^2c+bc^2 \geq 6 
И включая \frac{(ab+bc+ac)*4}{8} \geq \frac{3}{2}\\
\frac{ab+bc+ac}{2} \geq \frac{3}{2} 
 прихожим к более легкому неравенству 
 ab+bc+ac \geq 3\\
\frac{ab+bc+ac}{3} \geq 1 \\
 \frac{ab+bc+ac}{3} \geq \sqrt[3]{a^2b^2c^2}=1
 
 то есть минимальное значение это \frac{3}{2}
 Что и требовалось  доказать
0,0(0 оценок)
Популярные вопросы: Алгебра
Насонка
Насонка
13.05.2021 05:20
Выписано несколько последовательных членов геометрической прогрессии: … ; -12 ; x ; -3 ; 1,5 ; … Найдите член прогрессии, обозначенный буквой x....
anjelela799
anjelela799
13.05.2021 05:20
Какая закономерность в числах 2/1, 5/2, 10/3, 17/4 и приведите еще 1 пример...
элог
элог
24.01.2020 10:47
Найдите значение выражения корень из 108умноженое на корень из600.и деленная на корень из 625...
vanaromanihinp077sx
vanaromanihinp077sx
24.01.2020 10:47
Номер 1 . а) 6x^2-11x-2 0 ; б) x^2-8x+16меньше или равно 0; в) 5x-x^2меньше или равно 0 ; номер 2 - решить методом интервалов; (x+2)(x-6) 0; номер 3 ; x^4-5x^2-6=0 замена...
alisabeletzkay
alisabeletzkay
24.01.2020 10:47
Решите уравнение ( 2sin x/3-1)( cos3x-2)=0...
АлияКью
АлияКью
23.02.2023 20:18
Сократите дробь 9-а делёное на 3+корень из а...
aadiiii1
aadiiii1
02.07.2021 22:05
Выражение: a)1-sin²x б)1-cos²x в)sin2 3x+cos²3x-1...
young22228
young22228
24.10.2021 04:31
Постройте графики функций: y=-1; y=-1,8; y=2,5; y=9.​...
VelievaAyka18
VelievaAyka18
13.02.2020 05:58
Множество решений неравенства −x^2−7x+8 0. в ответе запишите наибольшее отрицательное целое значение x, удовлетворяющее неравенству....
оля27102000
оля27102000
28.10.2021 03:11
Разложите на множители многочлен: 2 d m − 9 d n − 20 m + 90 n...
Полный доступ
Позволит учиться лучше и быстрее. Неограниченный доступ к базе и ответам от экспертов и ai-bota Оформи подписку
О НАС
СООБЩЕСТВО
ПОМОЩЬ
App
.
.
logo
Начни делиться знаниями
Вход Регистрация
Что ты хочешь узнать?