Решите следующее : 1) какую кратность имеет корень 2 для многочлена p(x)=x^5-5x^4+7x^3-2x^2+4x-8

Ответ:

hazina2

02.10.2020 00:11

Если

– есть целый корень кратности

многочлена P(x)

, то многочлен будет делиться нацело на (x - a)^k

и не будет делиться нацело на $(x - a)^{k + 1}$ (это следует из теоремы Безу).
Свободный член многочлена делится на все целые корни уравнения (это следует из теоремы Безу). Следовательно, если корень

является целым корнем многочлена, то свободный его член (равный P(0)

) должен делиться на a^k

. Число

делится нацело на 2^3 = 8

(на число

нацело не делится): значит кратность корня

не может превышать

.
Сперва убедимся, что

вообще является корнем этого многочлена:
P(2) = 32 - 5*16 + 7*8 - 2*4 + 4*2 - 8 = 0

Является, т.к. при подстановке многочлен обращается в ноль.
Поделим многочлен P(x)

на

– если поделится, то корень 2 имеет кратность

P(x) = x^5 - 5x^4 + 7x^3 - 2x^2 + 4x - 8

$\begin{array}{cccccc@{\;}|cccc} x^5&-5x^4& +7x^3 & -2x^2&+4x&-8&x^3& - 6x^2&+12x& -8\\ \cline{7-10} x^5&-6x^4& +12x^3& -8x^2&&&x^2& + x& +1& \\ \cline{1-4} &x^4&-5x^3&+6x^2&+4x&-8&&&&\\ &x^4&-6x^3&+12x^2&-8x&&&&&\\ \cline{2-5} &&x^3&-6x^2&+12x&-8&&&&\\ &&x^3&-6x^2&+12x&-8&&&&\\ \cline{3-6} &&&&&0&&&&\\ \end{array}$

Т.к. деление выполнилось нацело, то мы можем сказать, что корень имеет кратность

(из-за того, что свободный член не делится на 2^4