Некий чиновник купил лошадей и быков за 1770 талеров. за каждую лошадь он уплатил по 31 талеру, а за каждого быка - 21 талеру. сколько лошадей и быков купил чиновник

Рассуждаем так:
х - лошади, у - быки
31х+21у=1770 (1)
Так как 1770 заканчивается на нуль, а 21 и 31 на единицу, то х+у - это число, которое тоже заканчивается на нуль.
х+у=10z , (2)
далее выражаем х в 1-м уравнении, подставляем во второе, упрощаем :
х=(1770-21у)/31
1770/31+21у/31+31у/31=10z
у=31z-177 (3)
Далее рассуждаем так:
сколько быков помещается в 1770? (быки дешевле) Предварительно убираем одну лошадь (всё-таки лошадь он купил) 
(1770-31)/21=82,8
То есть не больше 83 животных
х+у<83
Это значит, что z не больше 8,
тогда х+у<=80
Теперь из (3) уравнения: z может быть только 6, 7, 8. Меньше 6 - получаешь отрицательное число.
Итого 3 ответа:
71 и 9
40 и 30
9 и 51