Деление на cos x в данном уравнении возможно, потому что соs x подразумевается отличным от нуля, так как написан в знаменателе у tgx. Но как метод решения уравнения (деление на косинус в данном уравнении) не правильный. Так как имеются разные аргументы 2х и х, то надо заменить аргумент 2х на х по формулам sin2x=2·sinx·cosx cos2x=cos²x-sin²x=1-sin²x-sin²x=1-2·sin²x
2·sinx·cosx-(1-2sin²x)=tgx 2·sinx·cosx-1+2sin²x-(sinx/cosx)=0 Теперь умножим все уравнение на cosx, при этом cosx≠0 иначе tgx не существует. 2·sinx·cos²x-cosx+2sin²x·cosx-sinx=0, Разложим на множители, группируем первое и третье слагаемые, второе и четвертое: 2·sinx·cosx(cosx+sinx)-(cosx+sinx)=0, (cosx+sinx)(2sinx·cosx-1)=0 Произведение двух множителей равно нулю, когда хотя бы один из них равен нулю: 1) cosx+sinx=0 - однородное уравнение, делим на cosx≠0 tgx=-1 x=-π/4 + πk, k ∈Z 2) 2·sinx·cosx-1=0 sin2x=1, 2x=π/2 + 2πn, n∈Z x=π/4 +πn , n ∈ Z
ответ. x=-π/4 + πk, x=π/4 +πn , k, n ∈ Z два ответа можно записать как один ответ х=π/4 + πm/2, m∈Z
Но как метод решения уравнения (деление на косинус в данном уравнении) не правильный.
Так как имеются разные аргументы 2х и х, то надо заменить аргумент 2х на х
по формулам
sin2x=2·sinx·cosx
cos2x=cos²x-sin²x=1-sin²x-sin²x=1-2·sin²x
2·sinx·cosx-(1-2sin²x)=tgx
2·sinx·cosx-1+2sin²x-(sinx/cosx)=0
Теперь умножим все уравнение на cosx, при этом cosx≠0 иначе tgx не существует.
2·sinx·cos²x-cosx+2sin²x·cosx-sinx=0,
Разложим на множители, группируем первое и третье слагаемые, второе и четвертое:
2·sinx·cosx(cosx+sinx)-(cosx+sinx)=0,
(cosx+sinx)(2sinx·cosx-1)=0
Произведение двух множителей равно нулю, когда хотя бы один из них равен нулю:
1) cosx+sinx=0 - однородное уравнение, делим на cosx≠0
tgx=-1
x=-π/4 + πk, k ∈Z
2) 2·sinx·cosx-1=0
sin2x=1,
2x=π/2 + 2πn, n∈Z
x=π/4 +πn , n ∈ Z
ответ. x=-π/4 + πk, x=π/4 +πn , k, n ∈ Z
два ответа можно записать как один ответ х=π/4 + πm/2, m∈Z
cos2x=cos^2x-sin^2x.