Sin a + sin b и sin(a+b) это одно и то же?

Это не одно и то же. 

Сумма синусов и синус суммы это разные вещи как и разность
это формулы тригонометрии
sin(a+b)=sinacosb+sinbcosa
sina+sinb=2sin(a+b)/2*cos(a-b)/2