Доказать что при n≥1 число n^3+3n^2+5n делится на 3

Чуток иначе через те же остатки:
(используем свойство квадрат числа при делении на 3 дает остатки 0,1 , причем остаток 0 тогда и только тогда когда число кратное 3 - ну и остальные свойства суммы и произведения остатков)
так как делится на 3, нужно показать еще что делится на 3


если n делится на 3 то произведение делится на 3 и исходное выражение делится нацело на 3,
если n нацело не делится, то при делении на 3 дает остаток 1, а значит дает остаток при делении на 3 - 0, а значит делится нацело
таким образом либо n либо делится нацело на 3, произведение делится на 3, и исходное выражение делится нацело на 3
Доказано.

второй Методом математической индукции
База индукции
;
выполняется при
Гипотеза индукции. Пусть утверждение верно при
т.е. делится нацело на 3.
Индукционный переход. Докажем что тогда утверждение верно при
  а значит кратное 3 (выражение в первой скобке кратное 3 в силу допущения, во второй один из множителей а именно множитель 3 кратный 3)
Методом математической индукции доказано