Все члены прогрессии – различные натуральные числа, заключенные между числами 510 и 740. а) может ли такая прогрессия состоять из четырех членов? б) может ли такая прогрессия состоять из пяти членов?
А) да, например 512, 576, 648, 729 б) нет. Понятно, что знаменатель прогрессии - нецелое число. Пусть знаменатель прогрессии - число p/q (p, q - взаимно просты, p>q). Тогда члены прогрессии - числа вида a, ap/q, ap^2/q^2, ap^3/q^3, ap^4/q^4. Т.к. (p, q) = 1, то а делится на q^4, откуда q = 2, 3, 4 или 5 (иначе a не меньше 6^4 = 1296 > 740). С другой стороны, a/q^4 - некоторое натуральное число, поэтому из того, что p^4 * a/q^4 < 740, следует, что p^4 < 740, т.е. p = 3, 4, 5.
Наименьшее значение знаменателя в таком случае 5/4. Но тогда пятый член прогрессии окажется не меньше, чем 510 * (5/4)^4 > 740. Противоречие.
б) нет. Понятно, что знаменатель прогрессии - нецелое число. Пусть знаменатель прогрессии - число p/q (p, q - взаимно просты, p>q). Тогда члены прогрессии - числа вида
a, ap/q, ap^2/q^2, ap^3/q^3, ap^4/q^4.
Т.к. (p, q) = 1, то а делится на q^4, откуда q = 2, 3, 4 или 5 (иначе a не меньше 6^4 = 1296 > 740).
С другой стороны, a/q^4 - некоторое натуральное число, поэтому из того, что p^4 * a/q^4 < 740, следует, что p^4 < 740, т.е. p = 3, 4, 5.
Наименьшее значение знаменателя в таком случае 5/4. Но тогда пятый член прогрессии окажется не меньше, чем 510 * (5/4)^4 > 740. Противоречие.