Щоб знайти екстремуми функції, треба знайти точки, в яких похідна функції дорівнює нулю або не існує.
Похідна функції y = x³ -9x² +24x-12:
y' = 3x² -18x + 24
Знайдемо точки, в яких y' = 0:
3x² -18x + 24 = 0
x² - 6x + 8 = 0
(x-2)(x-4) = 0
x₁ = 2, x₂ = 4
Таким чином, функція має екстремуми в точках x = 2 та x = 4. Щоб визначити, чи ці точки є мінімумами чи максимумами, потрібно дослідити знак похідної навколо цих точок.
y'(x) < 0 для x < 2
y'(x) > 0 для 2 < x < 4
y'(x) < 0 для x > 4
Отже, точка x = 2 є максимумом, а точка x = 4 є мінімумом функції.
Для зображення графіку функції можна скористатися сервісом Desmos.com або побудувати графік вручну, використовуючи відомості про екстремуми та поведінку функції навколо цих точок. Наприклад, з точки зору вигляду функції, знаємо, що вона є кубічною і має максимум в точці x=2 та мінімум в точці x=4. Також, знаємо, що функція є парною, тобто симетричною відносно осі y.
Отже, графік функції можна наблизно побудувати наступним чином:
Похідна функції y = x³ -9x² +24x-12:
y' = 3x² -18x + 24
Знайдемо точки, в яких y' = 0:
3x² -18x + 24 = 0
x² - 6x + 8 = 0
(x-2)(x-4) = 0
x₁ = 2, x₂ = 4
Таким чином, функція має екстремуми в точках x = 2 та x = 4. Щоб визначити, чи ці точки є мінімумами чи максимумами, потрібно дослідити знак похідної навколо цих точок.
y'(x) < 0 для x < 2
y'(x) > 0 для 2 < x < 4
y'(x) < 0 для x > 4
Отже, точка x = 2 є максимумом, а точка x = 4 є мінімумом функції.
Для зображення графіку функції можна скористатися сервісом Desmos.com або побудувати графік вручну, використовуючи відомості про екстремуми та поведінку функції навколо цих точок. Наприклад, з точки зору вигляду функції, знаємо, що вона є кубічною і має максимум в точці x=2 та мінімум в точці x=4. Також, знаємо, що функція є парною, тобто симетричною відносно осі y.
Отже, графік функції можна наблизно побудувати наступним чином:
![Графік функції y = x³ -9x² +24x-12]