Область визначення функції складається зі значень аргументу, при яких функція має значення, тобто з "дозволених" значень х. У цьому випадку область визначення обмежена двома умовами:
1) знаменник дробу не може бути рівним нулю (оскільки ділення на нуль неможливе) - тобто х ≠ 2
2) в дужках під коренем функції має бути додатнє число або нуль, оскільки корінь з від'ємного числа неможливий - тобто 20 + x - x² + 5 ≥ 0
Щоб знайти дозволені значення х, розв'язуємо нерівність:
20 + x - x² + 5 ≥ 0
- x² + x + 25 ≥ 0
Спочатку знайдемо корені квадратного рівняння, яке збігається з лівою частиной нерівності:
x² - x - 25 = 0
D = 1 + 4 * 25 = 101
x₁ = ( -1 + √101 ) / 2 ≈ 5.067
x₂ = ( -1 - √101 ) / 2 ≈ -4.067
Ці значення розділяють вісь х на три інтервали: ( -∞, -4.067 ), ( -4.067, 2 ), ( 2, +∞ ). Всередині першого і третього інтервалів нерівність виконується для будь-якого значення х, тож до області визначення функції належать всі числа, окрім двійки.
Отже, область визначення функції y = √( 20 + x - x² + 5 / ( x - 2 ) складається з усіх чисел, крім 2.
1) знаменник дробу не може бути рівним нулю (оскільки ділення на нуль неможливе) - тобто х ≠ 2
2) в дужках під коренем функції має бути додатнє число або нуль, оскільки корінь з від'ємного числа неможливий - тобто 20 + x - x² + 5 ≥ 0
Щоб знайти дозволені значення х, розв'язуємо нерівність:
20 + x - x² + 5 ≥ 0
- x² + x + 25 ≥ 0
Спочатку знайдемо корені квадратного рівняння, яке збігається з лівою частиной нерівності:
x² - x - 25 = 0
D = 1 + 4 * 25 = 101
x₁ = ( -1 + √101 ) / 2 ≈ 5.067
x₂ = ( -1 - √101 ) / 2 ≈ -4.067
Ці значення розділяють вісь х на три інтервали: ( -∞, -4.067 ), ( -4.067, 2 ), ( 2, +∞ ). Всередині першого і третього інтервалів нерівність виконується для будь-якого значення х, тож до області визначення функції належать всі числа, окрім двійки.
Отже, область визначення функції y = √( 20 + x - x² + 5 / ( x - 2 ) складається з усіх чисел, крім 2.
D = ( -∞, 2 ) ∪ ( 2, +∞ ).