при каком наименьшем целом значении параметра а неравенство

справедливо для любого х>3?

Ответ:

uefip

21.07.2022 20:22

$\left\{\begin{aligned}&(a-1) x^2 - 2x - a 0, \\[1ex] &x 3.\end{aligned}\right.$

Рассмотрим сначала особую точку a = 1 --- там парабола вырождается в прямую. Тогда

$\left\{\begin{aligned}&{-2x}-1 0, \\ &x 3\end{gathered}\right.\implies x\in\varnothing.$

Значит, все дальнейшие рассуждения проводим при $a\neq 1$ .

Найдём корни функции f(x) = (a-1) x^2-2x-a :

$x_{1,2}=\dfrac{1\pm\sqrt{a^2-a+1}}{a-1} \equiv x_0 \pm \dfrac{\sqrt{a^2-a+1}}{a-1},\quad x_0 = \dfrac{1}{a-1},$

где x_0 --- вершина параболы и по совместительству точка экстремума функции f(x) .

Значение функции в этой точке равно

$f_0 = f(x_0) = -\dfrac{a^2-a+1}{a-1}=-\dfrac{\left(a-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}}{a-1}.$

Из исследования знаков производной/функции легко установить, что при a < 1 величина f_0 --- максимум (это, впрочем, понятно и из вида функции f(x) ), больший нуля. Причём в этом случае x_0 < 0 , т.е. понятно, что в области x 3 функция будет падать от какого-то максимального положительного (это в лучшем случае, а может уже и от отрицательного) значения. В любом случае, рано или поздно значение функции станет меньше нуля.

Таким образом, рассматриваем значения a 1 .

Ну, раз просят наименьшее целое значение параметра, то не будем далеко ходить и рассмотрим a=2 .

Корни и точка экстремума:

$x_{1,2} = 1\pm\sqrt{3},\quad x_0 = 1.$

Теперь уже x_0 - минимум функции, а (после аналогичного анализа) f_0 < 0 .

Если нам повезёт, то правый (который $x_2 = 1+\sqrt{3}$ ) корень будет лежать левее точки x=3 , а это будет означать, что к тому времени как функция подойдёт к x=3 , она уже будет положительна (ведь правее экстремума x_0 = 1 парабола рогами вверх будет идти только вверх). Исследуем: