Для того чтобы найти предел данной функции, нужно использовать метод раскрытия скобок, затем упростить выражение и применить правило нахождения предела для рациональной функции. Давайте разберемся пошагово.
3. Применим правило нахождения предела для рациональной функции:
Предел рациональной функции находим, вынося общий множитель из числителя и знаменателя.
В нашем случае общим множителем является x^2, поэтому выносим его:
x^2(5 + 3/x - 1/x^2) / x^2(1 + 2/x + 1/x^2)
Исходное выражение: (5x^2 + 3x - 1) / (x^2 + 2x + 1)
1. Раскроем скобки в числителе и заменим (5x^2 + 3x - 1) на 5x^2 + 3x - 1:
(5x^2 + 3x - 1) / (x^2 + 2x + 1)
2. Упростим выражение:
5x^2 + 3x - 1 / x^2 + 2x + 1
3. Применим правило нахождения предела для рациональной функции:
Предел рациональной функции находим, вынося общий множитель из числителя и знаменателя.
В нашем случае общим множителем является x^2, поэтому выносим его:
x^2(5 + 3/x - 1/x^2) / x^2(1 + 2/x + 1/x^2)
4. Упростим полученное выражение:
(5 + 3/x - 1/x^2) / (1 + 2/x + 1/x^2)
5. Теперь найдем пределы отдельно для числителя и знаменателя:
a) Найдем предел числителя:
lim(x->∞) (5 + 3/x - 1/x^2) = 5 + 0 - 0 = 5
b) Найдем предел знаменателя:
lim(x->∞) (1 + 2/x + 1/x^2) = 1 + 0 + 0 = 1
6. Теперь найдем предел всего выражения, подставив найденные пределы для числителя и знаменателя:
lim(x->∞) ((5 + 3/x - 1/x^2) / (1 + 2/x + 1/x^2)) = 5/1 = 5
Таким образом, предел данной функции при x стремящемся к бесконечности равен 5.