Для нахождения промежутков монотонности функции необходимо проанализировать знак ее производной.
Для данной функции, чтобы найти производную, нам нужно продифференцировать каждый член по отдельности, используя правила дифференцирования. Для этого применим правила возведения в степень и суммирования производных:
y' = (2*3*x^(3-1)) + (3*2*x^(2-1))
упрощаем:
y' = 6x^2 + 6x
Теперь проанализируем знак производной. Для этого произведем факторизацию производной:
y' = 6x(x + 1)
Знак производной будет равен нулю при x = 0 или x = -1. Полученные значения делят область определения (все действительные числа) на три интервала: (-∞, -1), (-1, 0), (0, +∞).
Для каждого интервала выберем произвольное значение, например, проверим x = -2, x = -0.5 и x = 1. Подставим их в производную и проанализируем знаки:
1. При x = -2:
y' = 6*(-2)*((-2) + 1) = -12*(-1) = 12 > 0
2. При x = -0.5:
y' = 6*(-0.5)*((-0.5) + 1) = -3*(-0.5) = 1.5 > 0
3. При x = 1:
y' = 6*(1)*(1 + 1) = 6*2 = 12 > 0
Теперь рассмотрим полученные знаки производной в соответствующих интервалах:
1. В интервале (-∞, -1) производная положительна, что означает убывание функции на этом интервале.
2. В интервале (-1, 0) производная положительна, что означает возрастание функции на этом интервале.
3. В интервале (0, +∞) производная также положительна, что означает возрастание функции на этом интервале.
Итак, промежутки монотонности функции y = 2x^3 + 3x^2 - 100 следующие:
1. Функция убывает на интервале (-∞, -1).
2. Функция возрастает на интервале (-1, 0).
3. Функция возрастает на интервале (0, +∞).
Для данной функции, чтобы найти производную, нам нужно продифференцировать каждый член по отдельности, используя правила дифференцирования. Для этого применим правила возведения в степень и суммирования производных:
y' = (2*3*x^(3-1)) + (3*2*x^(2-1))
упрощаем:
y' = 6x^2 + 6x
Теперь проанализируем знак производной. Для этого произведем факторизацию производной:
y' = 6x(x + 1)
Знак производной будет равен нулю при x = 0 или x = -1. Полученные значения делят область определения (все действительные числа) на три интервала: (-∞, -1), (-1, 0), (0, +∞).
Для каждого интервала выберем произвольное значение, например, проверим x = -2, x = -0.5 и x = 1. Подставим их в производную и проанализируем знаки:
1. При x = -2:
y' = 6*(-2)*((-2) + 1) = -12*(-1) = 12 > 0
2. При x = -0.5:
y' = 6*(-0.5)*((-0.5) + 1) = -3*(-0.5) = 1.5 > 0
3. При x = 1:
y' = 6*(1)*(1 + 1) = 6*2 = 12 > 0
Теперь рассмотрим полученные знаки производной в соответствующих интервалах:
1. В интервале (-∞, -1) производная положительна, что означает убывание функции на этом интервале.
2. В интервале (-1, 0) производная положительна, что означает возрастание функции на этом интервале.
3. В интервале (0, +∞) производная также положительна, что означает возрастание функции на этом интервале.
Итак, промежутки монотонности функции y = 2x^3 + 3x^2 - 100 следующие:
1. Функция убывает на интервале (-∞, -1).
2. Функция возрастает на интервале (-1, 0).
3. Функция возрастает на интервале (0, +∞).