Для того чтобы определить промежутки возрастания и убывания функции, мы должны найти производную функции и исследовать её знаки на интервалах.
1) Функция h(x)=5x²-7+3
a) Найдем производную функции h'(x):
h'(x) = 10x
b) Найдем критические точки (точки, в которых производная равна нулю или не существует):
h'(x) = 0
10x = 0
x = 0
c) Исследуем знак производной в интервалах:
Выберем произвольные точки x₁ < 0, x₂ > 0, x₃ = 0
* Для x₁: h'(-1) = 10(-1) = -10
* Для x₂: h'(1) = 10(1) = 10
* Для x₃: h'(0) = 10(0) = 0
Из полученных значений, мы можем сделать следующие выводы о знаках производной:
- При x < 0, h'(x) < 0, значит функция убывает на интервале (-∞, 0).
- При x > 0, h'(x) > 0, значит функция возрастает на интервале (0, +∞).
Ответ: Функция h(x)=5x²-7+3 убывает на интервале (-∞, 0) и возрастает на интервале (0, +∞).
2) Функция f(x)=3-2x
a) Найдем производную функции f'(x):
f'(x) = -2
b) Так как производная f'(x) не зависит от x, у нее нет критических точек.
c) Исследуем знак производной в интервалах:
Выберем произвольные точки x₁ < 0, x₂ > 0
Для любой точки из этих интервалов, мы получим одно и то же значение f'(x) = -2
Из полученных значений, мы можем сделать следующий вывод о знаках производной:
- Значение производной f'(x) всегда отрицательное (-2), значит функция убывает на всей числовой прямой (-∞, +∞).
Ответ: Функция f(x)=3-2x убывает на всем интервале (-∞, +∞).
Для того чтобы определить промежутки возрастания и убывания функции, мы должны найти производную функции и исследовать её знаки на интервалах.
1) Функция h(x)=5x²-7+3
a) Найдем производную функции h'(x):
h'(x) = 10x
b) Найдем критические точки (точки, в которых производная равна нулю или не существует):
h'(x) = 0
10x = 0
x = 0
c) Исследуем знак производной в интервалах:
Выберем произвольные точки x₁ < 0, x₂ > 0, x₃ = 0
* Для x₁: h'(-1) = 10(-1) = -10
* Для x₂: h'(1) = 10(1) = 10
* Для x₃: h'(0) = 10(0) = 0
Из полученных значений, мы можем сделать следующие выводы о знаках производной:
- При x < 0, h'(x) < 0, значит функция убывает на интервале (-∞, 0).
- При x > 0, h'(x) > 0, значит функция возрастает на интервале (0, +∞).
Ответ: Функция h(x)=5x²-7+3 убывает на интервале (-∞, 0) и возрастает на интервале (0, +∞).
2) Функция f(x)=3-2x
a) Найдем производную функции f'(x):
f'(x) = -2
b) Так как производная f'(x) не зависит от x, у нее нет критических точек.
c) Исследуем знак производной в интервалах:
Выберем произвольные точки x₁ < 0, x₂ > 0
Для любой точки из этих интервалов, мы получим одно и то же значение f'(x) = -2
Из полученных значений, мы можем сделать следующий вывод о знаках производной:
- Значение производной f'(x) всегда отрицательное (-2), значит функция убывает на всей числовой прямой (-∞, +∞).
Ответ: Функция f(x)=3-2x убывает на всем интервале (-∞, +∞).