♥️
Не вычисляя корней уравнения.

В решении.

Объяснение:

По теореме Виета х₁ + х₂ = -р;    х₁ * х₂ = q; (в приведённом уравнении).

3х² + 8х - 1 = 0 (не приведённое квадратное уравнение), поэтому:

х₁ + х₂ = -8/3;

х₁ * х₂ = -1/3.

1)

x₁²+x₂² = (x₁+x₂)² - 2*x₁*x₂ =

выделить полный квадрат и подставить значения;

= (-8/3)² - 2 * (-1/3) =

= 64/9 + 2/3 = 70/9 = 7 и 7/9;

2)

x₁x₂³+x₂x₁³ = x₁x₂(x₁²+x₂²) = x₁x₂((x₁+x₂)²-2x₁x₂) =

вынести общие множители, выделить полный квадрат и подставить значения;

= -1/3 * ((-8/3)² - 2 * (-1/3)) =

= -1/3 * 70/9 = -70/27 = -2 и 16/27;

3)

x₁/x₂²+x₂/x₁² = (x₁³+x₂³)/(x₁x₂)² = ((x₁+x₂)³-3x₁x₂(x₁+x₂))/(x₁x₂)² =

= ((-8/3)³ - 3*(-1/3)*(-8/3))/(-1/3)² =

=(-512/27 - 24/9)/1/9 =

= -584/27 : 1/9 = -194 и 2/3;

4)

x₁⁴+x₂⁴ = ((x₁+x₂)²-2x₁x₂)²-2x₁²x₂² =

= (70/9)² - 2 * (-1/3)*(-1/3) =

= 4900/81 - 2/9 = 4882/81 = 60 и 22/81.