Как сократить выражение 1^2+2^2+n^2?

n(n+1)(2n+1)/6

Объяснение:

2³=(1+1)³=1³+3·1²·1+3·1·1²+1³=1+3·1+3·1²+1³

3³=(1+2)³=1³+3·1²·2+3·1·2²+2³=1+3·2+3·2²+2³

4³=(1+3)³=1³+3·1²·3+3·1·3²+3³=1+3·3+3·3²+3³

n³=(1+(n-1))³=1³+3·1²·(n-1)+3·1·(n-1)²+(n-1)³=1+3·(n-1)+3·(n-1)²+(n-1)³

(n+1)³=(1+n)³=1³+3·1²·n+3·1·n²+n³=1+3·n+3·n²+n³

Сложим полученные равенства

2³+3³+4³+...+(n+1)³=

=(1+1+1+...+1)+3·(1+2+3+...+n)+3·(1²+2²+3²+...+n²)+(1³+2³+3³+...+n³)=

=n+3·(1+n)n/2+3·(1²+2²+3²+...+n²)+(1³+2³+3³+...+n³)=

=(5n+3n²)/2+3·(1²+2²+3²+...+n²)+(1³+2³+3³+...+n³)

3·(1²+2²+3²+...+n²)=2³+3³+4³+...+(n+1)³-(1³+2³+3³+...+n³)-(5n+3n²)/2

3·(1²+2²+3²+...+n²)=(n+1)³-1³-(5n+3n²)/2=(2n³+3n²+n)/2=n(2n²+3n+1)/2=

=n(n+1)(2n+1)/2

1²+2²+3²+...+n²=n(n+1)(2n+1)/6