Докажите, что композиция двух возрастающих функций - вопрос №20216852 от lollo2003 19.10.2021 10:14

Question

Алгебра: Докажите, что композиция двух возрастающих функций - функция возрастающая.

lollo2003 · Answer

Пусть функции f(x) и g(x) возрастающие на некотором промежутке.

Выберем две точки x_1 и x_2 из этого промежутка, такие что:

x_2x_1

Рассмотрим некоторую композицию этих функций, например, функцию:

h(x)=g(f(x))

Найдем значения этой функции в выбранных точках:

h(x_2)=g(f(x_2))

h(x_1)=g(f(x_1))

Рассмотрим значения функции f(x_2) и f(x_1) . Так как x_2x_1 , а функция - возрастающая, то f(x_2)f(x_1) .

Рассмотрим значения функции g(f(x_2)) и g(f(x_1)) . Так как f(x_2)f(x_1) , а функция - возрастающая, то g(f(x_2))g(f(x_1)) . Следовательно:

h(x_2)h(x_1)

Таким образом, большему значению аргумента соответствует большее значение функции-композиции. Значит, эта функция возрастающая. Доказано.