Знайдіть усі значення параметра а, при яких рівняння logx (ax-4)=2 має єдиний розв‘язок

Ответ:

Lenakaka56784

16.08.2021 11:08

(см. объяснение)

Объяснение:

$\log_x(ax-4)=2$

ОДЗ:

$\left\{\begin{array}{c}ax-40\\x0\\x\ne1\end{array}\right;$

$\log_x(ax-4)=2\\x^2-ax+4=0 \\ax=x^2+4$

Заметим, что для любого корня уравнения вне зависимости от значения параметра произведение будет больше или равно 4.

Причем ax=4 , если x=0 - корень уравнения. Но это невозможно, так как при x=0 имеем 4=0 (неверно) при любом значении параметра.

Тогда ax4 , то есть условие ОДЗ ax-40 будет выполнятся всегда.

Исходное уравнение будет иметь ровно один корень, либо если x^2-ax+4=0 имеет один корень, удовлетворяющий ОДЗ, либо если это уравнение имеет два корня, только один из которых удовлетворяет ОДЗ.

Рассмотрим первый случай. Он достижим, когда D=0 .

$D=a^2-16\\a^2-16=0\\a=\pm4$

При a=-4 уравнение имеет корень x=-2 , поэтому такое значение параметра не подходит.

При a=4 уравнение имеет корень x=2 , поэтому такое значение параметра подходит.

Рассмотрим второй случай. Он достижим, когда .

Здесь также важно, чтобы уравнение либо имело один корень x=1 , а другой положительный, либо один корень неположительный, а другой положительный, не равный единице.

Обратимся к первой ситуации:

$1^2-a\times1+4=0\\a=5$

В этом случае уравнение имеет корни x=1 или x=4 , первый из которых, отпадая, обеспечивает наличие единственного корня у исходного уравнения. Тогда такое значение параметра подходит.

Для того чтобы вторая ситуация могла быть достижимой, необходимо, но не достаточно, чтобы выполнялось условие $x^2-ax+4\le0$ при x=0 . Однако это невозможно, поэтому такой вариант рассматривать дальше не будем.