Відомо, що три натуральні числа є послідовними членами геометричної прогресії. Третє дорівнює 12, і якщо узяти (-36) замість 12, то ці три числа будуть послідовними членами арифметичної прогресії. Знайдіть суму цифр першого числа.
Нехай перше та друге числа — x та y відповідно. Отже, числа x, y і 12 утворюють геометричну прогресію, а числа x, y і -36 — арифметичну.
Скористаємося основними властивостями цих прогресій. Квадрат кожного члена геометричної дорівнює добутку сусідніх. Зокрема для члена y,
Кожен член арифметичної прогресії дорівнює середньому арифметичному сусідніх. Зокрема для того ж члена y,
.
Звідси .
Ліві частини рівнянь (*) і (**) збігаються, тому прирівняємо праві та знайдемо x:
Якщо перше з розглядуваних чисел — 12, то друге дорівнює . Воно не натуральне й не задовольняє умові. Якщо ж x=108, то , що цілком відповідає умові задачі.
Відповідь:
9
Пояснення:
Нехай перше та друге числа — x та y відповідно. Отже, числа x, y і 12 утворюють геометричну прогресію, а числа x, y і -36 — арифметичну.
Скористаємося основними властивостями цих прогресій. Квадрат кожного члена геометричної дорівнює добутку сусідніх. Зокрема для члена y,
Кожен член арифметичної прогресії дорівнює середньому арифметичному сусідніх. Зокрема для того ж члена y,
Звідси
.
Ліві частини рівнянь (*) і (**) збігаються, тому прирівняємо праві та знайдемо x:
Якщо перше з розглядуваних чисел — 12, то друге дорівнює
. Воно не натуральне й не задовольняє умові. Якщо ж x=108, то 
, що цілком відповідає умові задачі.
Тоді сума цифр першого числа 1+0+8=9.