Сразу скажем, что в таком виде результат неверен, более того, сумму квадратов обратных величин можно сделать сколь угодно близкой к нулю. Например, 104-100+100-100=4, а
А вот если все четыре числа положительны, требуемое неравенство легко выводится из неравенства Коши между средним арифметическим и средним геометрическим: для неотрицательных справедливо неравенство причем неравенство превращается в равенство только в случае
Из условия a+b+c+d=4 и неравенства Коши (если a, b, c, d положительны) следует, что Иными словами,
Чтобы дальше была комфортная жизнь, перепишем это в виде
Сразу скажем, что в таком виде результат неверен, более того, сумму квадратов обратных величин можно сделать сколь угодно близкой к нулю. Например, 104-100+100-100=4, а
А вот если все четыре числа положительны, требуемое неравенство легко выводится из неравенства Коши между средним арифметическим и средним геометрическим: для неотрицательных
справедливо неравенство ![\frac{a_1+a_2+\ldots +a_n}{n}\ge \sqrt[n]{a_1\cdot a_2\cdot \ldots \cdot a_n},](/tpl/images/2008/0212/1d1c5.png)
причем неравенство превращается в равенство только в случае 
Из условия a+b+c+d=4 и неравенства Коши (если a, b, c, d положительны) следует, что![1=\frac {a+b+c+d}{4}\ge \sqrt[4]{a\cdot b\cdot c\cdot d}.](/tpl/images/2008/0212/a42bd.png)
Иными словами,
Из неравенства Коши следует, что
что и требовалось доказать.