Чтобы найти значения x, при которых касательные к графикам функций параллельны, необходимо учесть следующие факты:
1) Касательная к функции y(x) в точке x имеет наклон, равный производной функции в этой точке. Если две функции имеют параллельные касательные, то их производные должны быть равны.
2) Производная функции y(x) = acos(bx) равна y'(x) = -ab*sin(bx). Таким образом, производные функций y(x)=3cos(5x) и y(x)=5cos(3x)+2 будут равны y'(x)= -15sin(5x) и y'(x) = -15sin(3x).
Теперь уравняем производные:
-15sin(5x) = -15sin(3x)
sin(5x) = sin(3x)
3) Рассмотрим равенство sin(5x) = sin(3x) и воспользуемся свойством синуса: sin(a) = sin(b) тогда и только тогда, когда a = b + 2πk или a = π - b + 2πk, где k - целое число.
Таким образом, у нас будет два случая:
1) 5x = 3x + 2πk, где k - целое число
2) 5x = π - 3x + 2πk, где k - целое число
Решим первое уравнение:
2x = 2πk
x = πk
Таким образом, при каждом значении k, где k - целое число, касательные к графикам функций y(x)=3cos5x и y(x)=5cos3x+2 в точках с абсциссой x будут параллельны.
Решим второе уравнение:
8x = π(1 + 2k)
x = π(1 + 2k)/8
Таким образом, при каждом значении k, где k - целое число, касательные к графикам функций y(x)=3cos5x и y(x)=5cos3x+2 в точках с абсциссой x будут параллельны.
Итак, все значения x, при которых касательные к графикам функций y(x)=3cos5x и y(x)=5cos3x+2 в точках с абсциссой x параллельны, представлены выражениями x = πk и x = π(1 + 2k)/8, где k - целое число.
1) Касательная к функции y(x) в точке x имеет наклон, равный производной функции в этой точке. Если две функции имеют параллельные касательные, то их производные должны быть равны.
2) Производная функции y(x) = acos(bx) равна y'(x) = -ab*sin(bx). Таким образом, производные функций y(x)=3cos(5x) и y(x)=5cos(3x)+2 будут равны y'(x)= -15sin(5x) и y'(x) = -15sin(3x).
Теперь уравняем производные:
-15sin(5x) = -15sin(3x)
sin(5x) = sin(3x)
3) Рассмотрим равенство sin(5x) = sin(3x) и воспользуемся свойством синуса: sin(a) = sin(b) тогда и только тогда, когда a = b + 2πk или a = π - b + 2πk, где k - целое число.
Таким образом, у нас будет два случая:
1) 5x = 3x + 2πk, где k - целое число
2) 5x = π - 3x + 2πk, где k - целое число
Решим первое уравнение:
2x = 2πk
x = πk
Таким образом, при каждом значении k, где k - целое число, касательные к графикам функций y(x)=3cos5x и y(x)=5cos3x+2 в точках с абсциссой x будут параллельны.
Решим второе уравнение:
8x = π(1 + 2k)
x = π(1 + 2k)/8
Таким образом, при каждом значении k, где k - целое число, касательные к графикам функций y(x)=3cos5x и y(x)=5cos3x+2 в точках с абсциссой x будут параллельны.
Итак, все значения x, при которых касательные к графикам функций y(x)=3cos5x и y(x)=5cos3x+2 в точках с абсциссой x параллельны, представлены выражениями x = πk и x = π(1 + 2k)/8, где k - целое число.