Число делится на 24. если оно делится на 3 и на 8.( так как 3 и 8 - взаимно простые)
Разложим: n³–n=n•(n²–1)=n•(n–1)•(n+1)=(n–1)•n•(n+1) - три последовательные числа
1)Из трех последовательных натуральных чисел- одно обязательно кратно 3
По условию n-нечетное число, то есть n=2•K+1
n–1= 2•k и n+1= 2•k+2=2•(k+1) - при любом к чётные числа.
2) а) Пусть (n–1) делится на 4. Так как (n+1) делится на 2 как чётное число, то их произведение (n–1)•(n+1) делится на 8
б) Пусть (n–1) не делится на 4, то из представления (n–1)=2•k заключаем, что (n–1) делится на 2 и k нечётное число. Тогда из представления (n+1)=2•(k+1) имеем, что (k+1) чётное число, а следовательно (n+1)=2•(k+1) делится на 4.
отсюда (n–1)•(n+1) делится 8.
Итак, мы доказали, что n³–n делится на 8 и 3. Отсюда следует,что n³–n делится на 24
Объяснение:
Число делится на 24. если оно делится на 3 и на 8.( так как 3 и 8 - взаимно простые)
Разложим: n³–n=n•(n²–1)=n•(n–1)•(n+1)=(n–1)•n•(n+1) - три последовательные числа
1)Из трех последовательных натуральных чисел- одно обязательно кратно 3
По условию n-нечетное число, то есть n=2•K+1
n–1= 2•k и n+1= 2•k+2=2•(k+1) - при любом к чётные числа.
2) а) Пусть (n–1) делится на 4. Так как (n+1) делится на 2 как чётное число, то их произведение (n–1)•(n+1) делится на 8
б) Пусть (n–1) не делится на 4, то из представления (n–1)=2•k заключаем, что (n–1) делится на 2 и k нечётное число. Тогда из представления (n+1)=2•(k+1) имеем, что (k+1) чётное число, а следовательно (n+1)=2•(k+1) делится на 4.
отсюда (n–1)•(n+1) делится 8.
Итак, мы доказали, что n³–n делится на 8 и 3. Отсюда следует,что n³–n делится на 24