Можно ли покрасить клетчатый квадрат 2009*2009 в два цвета- чёрный и белый- таким образом, чтобы каждая чёрная клетка имела двух белых соседей, а каждая белая клетка двух чёрных соседей. ответ обоснуйте.

Да если сочедеие то получается соседей по 3 с каждой стороны

Да можно
просто в каждой строке один цвет
например в каждой четной строке черный цвет а в каждой нечетной белый