Раскрыли скобки:
y' = 2xy + 2x³
y' - 2xy = 2x³ (*) - линейное (неоднородное) дифференциальное уравнение 1-го порядка, соответствует виду:
y' + P(x)·y = Q(x)
В нашем случае P(x) = -2x; Q(x) = 2x³
Решение ищем в виде y = u(x)·v(x); y' = u'v + uv' подставляем в (*):
u'v + uv' - 2xuv = 2x³
u'v + u(v' - 2xv) = 2x³ (**)
Приравниваем выражение в скобках нулю (метод решения):
v' - 2xv = 0
dv / dx = 2xv
dv / v = 2xdx
Интегрируем:
ln|v| = x²
Подставляем в (**):
Пусть x² = t
Окончательно:
Раскрыли скобки:
y' = 2xy + 2x³
y' - 2xy = 2x³ (*) - линейное (неоднородное) дифференциальное уравнение 1-го порядка, соответствует виду:
y' + P(x)·y = Q(x)
В нашем случае P(x) = -2x; Q(x) = 2x³
Решение ищем в виде y = u(x)·v(x); y' = u'v + uv' подставляем в (*):
u'v + uv' - 2xuv = 2x³
u'v + u(v' - 2xv) = 2x³ (**)
Приравниваем выражение в скобках нулю (метод решения):
v' - 2xv = 0
dv / dx = 2xv
dv / v = 2xdx
Интегрируем:
ln|v| = x²
Подставляем в (**):
Пусть x² = t
Окончательно: