На вечере присутствуют девять человек. может ли так оказаться, что каждый из них знаком только с тремя участниками вечера?

Насколько я понял, то да.

Пример: 

1-й человек, знает 2-го 3-го и 4-го

2-й человек, знает 1-го 3-го и 4-го

3-й человек, знает 1-го 2-го и 4-го

4-й человек, знает 5-го 6-го и 7-го

5-й человек, знает 4-го 6-го и 7-го

6-й человек, знает 4-го 5-го и 7-го

и т.д