Решить уравнение: 4 cos^2 ( x-pi/6) - 3 =0 решив его, у меня получился следующий ответ: x=pi/3 + 2pin; x=2pin; x=pin + 2pin; x=(-2pi/3) + 2pin но в учебнике дан такой ответ: x=pi/3 + pin; x=pin объясните,,как получить такой ответ? что неправильно в моём ответе? !

В учебнике дали правильный ответ.  Воспользуемся сначала формулой понижения степени и выразим из неё .В принципе это же можно получить из формулы косинуса двойного угла.

Тогда из условия следует:

Рассматриваем два случая: со знаком "+" и со знаком "-".

или 

А почему вы решили что ваш ответ неправильный? он записан иначе, да.
покажу на первом ответе
x=П/3+2Пn это у вас и х=П/3+Пk в книге. легко видеть что если 2n обозначиь через k
получим книжный ответ.
x=(-2pi/3) + 2pin это ваш и х=П/3+Пk
-2П/3+2Пn=П/3+Пk разделим на П.
-2/3+2n=1/3+k 2n-1=k;
как видим твои ответы преобразуются в книжные.
вы все правильно решили.