Число p равно произведению 11 различных натуральных чисел, больших 1. какое наименьшее число натуральных делителей (включая единицу и само число) может иметь число p?

Решение:
Любое натуральное число N представимо в виде произведения
  N = (p1k1)*(p2k2)*... и т.д.,
где p1, p2 и т.д. - простые числа, а k1, k2 и т.д. - целые неотрицательные числа.

Например,
  15 = (31)*(51)
  72 = 8*9 = (23)*(32)

Так вот, общее количество натуральных делителей числа N равно
(k1+1)*(k2+1)*...

Итак, по условию, P = N1*N2*...*N11, где
  N1 = (p1k[1,1])*(p2k[1,2])*...
  N2 = (p1k[2,1])*(p2k[2,2])*...
...,
а это значит, что
  P = (p1(k[1,1]+k[2,1]+...+k[11,1]))*(p2(k[1,2]+k[2,2]+...+k[11,2]))*...,

и общее количество натуральных делителей числа P равно

(k[1,1]+k[2,1]+...+k[11,1]+1)*(k[1,2]+k[2,2]+...+k[11,2]+1)*...

  Это выражение принимает минимальное значение, если все числа N1...N11 являются последовательными натуральными степенями одного и того же простого числа, начиная с 1: N1 = p, N2 = p2, ... N11 = p11.

То есть, например,
  N1 = 21 = 2,
  N2 = 22 = 4,
  N3 = 23 = 8,
...
  N11 = 211 = 2048.

Тогда количество натуральных делителей числа P равно
1+(1+2+3+...+11) = 67.