4. Докажите, что многочлен
(х² – xy +y²)³ + (х² + xy +y²)³
принимает неотрицательное значение при любых чи-
сленных значениях входящих в него букв.​

a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²)

(х² – xy + y²)³ + (х² + xy + y²)³ = ((х² – xy + y²) + (х² + xy + y²))((х² – xy +y²)² -  (х² – xy +y²)(х² + xy +y²) + (х² + xy +y²)²) = (2х²  + 2y²)((х² – xy +y²)² -  (х² – xy + y²)(х² + xy + y²) + (х² + xy +y²)²)

(2х²  + 2y²) ≥ 0

x² + y² = a

xy = b

(х² – xy +y²)² -  (х² – xy + y²)(х² + xy + y²) + (х² + xy +y²)² = (a - b)² - (a - b)(a + b) + (a + b)² = a² - 2ab + b² - a² + b² + a² + 2ab + b² = a² + 3b² = (x² + y²)² + 3x²y² ≥ 0

произведение 2-х неотрицательных чисел

число неотрицательное

доказано

(x^2 - xy + y^2)^3 + (x^2 +xy + y^2)^3  

Для удобства сделаем замены:

(x+y)/2 = a

(x-y)/2 = b

xy =  a^2  - b^2

x^2 + y^2 = 2(a^2 + b^2)

Тогда получим:

(x^2 - xy + y^2)^3 + (x^2 +xy + y^2)^3 =

= (a^2+3b^2)^3 + (3a^2 + b^2)^3 >= 0, ибо квадраты неотрицательны.