Докажите что выражение n^5-n где n натуральное число нацело делится на 5

докажем методом математической индукции

докажем что при n =1 n^5-n делиться на 5

1^5-1=0

0 делиться на 5

тогда предположим что при n=k

n^5-n делиться на 5

k^5-k

и докажем при n = k+1

(k+1)^5-(k+1)

k^5+5k^4+10k^3+10k^2+5k+1-k-1

k^5-k +5(k^4+2k^3+2k^2+k)

k^5-k по нашему предположению делиться на 5 и

5(k^4+2k^3+2k^2+k) делиться на 5 так как один его множител 5

значить n^5-n делится на 5