Разбейте число 8 на два неотрицательных слагаемых так что бы сумма квадрата первого слагаемого и куба второго слагаемого была наименьшей/ это связанно с производной,
так как числа неотрицательные, рассматриваем область [0; +беск)
До х=2 производная <0, т.е. функция убывает; после х=2 производная >0, т.е. функция возрастает. Значит, х=2 - точка минимума, т.е. в ней функция достигает наименьшего значения. Тогда второе слагаемое равно 2, первое 6
пусть второе слагаемое х, тогда первое 8-х. Составим функцию:
(8-x)^2 + x^3. Возьмем производную: y ' =-2(8-x) + 3x^2 = 3x^2 + 2x -16.
Найдем критичесие точки: 3x^2 + 2x - 16=0, x=-8/3; 2
так как числа неотрицательные, рассматриваем область [0; +беск)
До х=2 производная <0, т.е. функция убывает; после х=2 производная >0, т.е. функция возрастает. Значит, х=2 - точка минимума, т.е. в ней функция достигает наименьшего значения. Тогда второе слагаемое равно 2, первое 6
Второе слагаемое обозначим за х, тогда первое слагаемое 8 - х.
По условию сумма (8 - x)² + x³ должна быть наименьшей.
Рассмотрим данную зависимость как функцию f(x) = (8 - x)² + x³.
Тогда, чтобы найти её наименьшее значение нужно сначала найти все критические точки функции , а затем среди них выбрать из них точку минимума.
f''(x) = ((8 - x)² + x³)'= ((8 - x)²) ' + (x³)' = 2*(8 - x)*(8 - x)' + 3х² =
= - 2*(8 - x) + 3х² = 3х² + 2х - 16
Критические точки - это точки в которых поизводная равна нулю:
f''(x) = 0
3х² + 2х - 16 = 0
D = 4 + 4*3*16 = 196
√D = 14
х = 2 или х = - 8/3 (не подходит, т.к. по условию
оба слагаемые неотрицательные)
Итак, найдена ровно одна критическая точка.
Докажем, что это и есть точка минимума.
Расставим знаки производной на промежутках знакопостоянства:
- +
2
ф-ция убывает ф-ция возрастает
Т.о. до точки х=2 ф-ция убывает, а после точки х=2 - возрастает =>
х=2 - точка минимума.
Значит в точке х=2 функция f(x) = (8 - x)² + x³ принимает минимальное значение.
Итак, второе слагаемое 2, тогда первое слагаемое равно 8 - х= 8-2 = 6
ответ: первое слагаемое 6, второе слагаемое 2.