Найти три числа а,b и c, если известно, что их сумма равна 2, а квадратное уравнение ax^2+bx+c=0 имеет единственное решение x=2

а + b + с = 2  (1)

Решение квадратного урвнения х = 2 подставим в уравнение

ax²+bx+c=0

4а +2b +с = 0 (2)

единственное решение имеет место, если дискриминант квадратного уравнения  ax²+bx+c=0 равен нулю

D = b² - 4ac

b² - 4ac = 0  (3)

Из (1) выразим а = 2 - b - c   (1a)

Из (2) выразим c = -4a -2b   (2a)

Подставим (1а) в (2а)

c = -4(2 - b - c ) - 2b

c = -8 + 4b + 4c  - 2b

-3c = -8 + 2b

c = (8 - 2b):3    (4)

Подставим (4) в (1а)

а = 2 - b - (8 - 2b):3

а = (-2 - b):3    (5)

Подставим (4) и (5) в (3)

b² - 4·((-2 - b):3)·((8 - 2b):3) = 0

9b² + 4·(2 + b)·(8 - 2b) = 0

9b² + (8 + 4b)·(8 - 2b) = 0

9b² + 64 + 32b -16b - 8b² = 0

b² + 16b + 64 = 0

(b + 8)² = 0

b  = -8

подставим b в (4) и (5)

c = (8 - 2·(-8)):3 = 8

а = (-2 - (-8)):3 = 2

ответ:  а = 2, b  = -8, с = 8