Разобраться в решении тригонометрического уравнения: cos2x+sin^2(x)=0,5 после проебразований у меня получилось, что cos(x)=корень из 2/2; x=p/4+2pn. но в ответах написано, что ответ должен быть x=p/4+pn/2. обьясните , каким образом туда другие корни кроме p/4+2pn?

1)) Вы, действительно, потеряли один корень...

там получится квадратное уравнение: (cosx)^2 = 0.5

решение: cosx = + - V2/2

для cosx = +V2/2 Вы записали тоже не полностью: x = pi/4 + pi k   и   x = = -pi/4 + pi k

а для cosx = -V2/2 еще добавятся: x = 3pi/4 + pi k   и   x = = -3pi/4 + pi k

и ответ в учебнике ---это объединение всех четырех решений!!

если посмотреть расположение этих ответов на единичном круге, то можно заметить, что pi/4 "отстоит" от 3pi/4 ровно на pi/2... и 3pi/4 "отстоит" от -3pi/4 ровно на pi/2...

т.е. это объединенное решение: x = pi/4 + (pi/2) * k

а Вы просто потеряли корни...