Последовательность задана рекуррентным Вычисли формулу её n-го члена: а) x1=4,xn=xn−1+5, если n=2,3,4...
ответ (запиши соответствующие коэффициенты):
xn= _ n.
б) x1=8,xn=4xn−1, если n=2,3,4...
ответ (запиши соответствующие коэффициенты):
xn= _*_^n−1.
а) Последовательность задана рекуррентным соотношением xn = xn-1 + 5, где x1 = 4. Мы должны найти формулу для нахождения n-го члена этой последовательности.
Для этого применим метод математической индукции. Первым шагом нам нужно показать, что формула xn = 4 + 5(n-1) подходит для n = 1.
x1 = 4 + 5(1-1) = 4 + 5*0 = 4
Теперь предположим, что формула xn = 4 + 5(n-1) верна для некоторого k, где k > 1. Это означает, что xn = 4 + 5(k-1) для k-го члена последовательности.
Теперь докажем, что эта формула будет верна для (k+1)-го члена последовательности.
Подставляем значение n = k+1:
x(k+1) = x(k+1-1) + 5 = xk + 5
Так как предположение гласит, что xn = 4 + 5(n-1), то xn = 4 + 5(k-1). Теперь заменяем xn и продолжаем доказательство:
x(k+1) = 4 + 5(k-1) + 5
= 4 + 5k - 5 + 5
= 5k + 4
Доказательство для (k+1)-го члена завершено. Таким образом, формула xn = 5n + 4 верна для всех членов последовательности, начиная с x1 = 4.
Ответ: xn = 5n + 4.
б) Последовательность задана рекуррентным соотношением xn = 4xn-1, где x1 = 8. Мы также должны найти формулу для нахождения n-го члена этой последовательности.
Для этого также применим метод математической индукции. Первым шагом покажем, что формула xn = 8 * 4^(n-1) подходит для n = 1.
x1 = 8 * 4^(1-1) = 8 * 4^0 = 8
Теперь предположим, что формула xn = 8 * 4^(n-1) верна для некоторого k, где k > 1. Это означает, что xn = 8 * 4^(k-1) для k-го члена последовательности.
Теперь докажем, что эта формула будет верна для (k+1)-го члена последовательности.
Подставляем значение n = k+1:
x(k+1) = 4x(k+1-1) = 4xk
Так как предположение гласит, что xn = 8 * 4^(n-1), то xn = 8 * 4^(k-1). Теперь заменяем xn и продолжаем доказательство:
x(k+1) = 4 * 8 * 4^(k-1)
= 8 * 4^k
Доказательство для (k+1)-го члена завершено. Таким образом, формула xn = 8 * 4^k верна для всех членов последовательности, начиная с x1 = 8.
Ответ: xn = 8 * 4^k.