Ну сначала рассматриваем два случая раскрытия модуля:
1) При x >= a^2
f(x) = x^2 - 10x + 3a^2
Находим производную:
f'(x) = 2x - 10
Точка экстремума:
2x - 10 = 0
x = 5
2) При x < a^2
f(x) = x^2 - 4x - 3a^2
f'(x) = 2x - 4
2x - 4 = 0
x = 2
При подстановке точек экстремума в функцию получим:
f(2) = -10 -3|2 - a^2|
f(5) = -10 -3|5 - a^2|
То есть, нам нужно, чтобы модули не были равны, в этом случае будет одна точка максимума и одна точка минимума.
При a^2 <= 2
2 - a^2 <> 5 - a^2
2 <> 5
Верно при любых значениях а, то есть, подходит любое значение из промежутка
-sqrt(2) <= a <= sqrt(2)
При 2 < a^2 <= 5
2 - a^2 <> -(5 - a^2)
2a^2 <> 7
a <> sqrt(7/2)
То есть, подходят значения из промежутков
-sqrt(5) <= a < -sqrt(7/2),
-sqrt(7/2) < a < -sqrt(2),
-sqrt(2) < a < sqrt(2),
sqrt(2) < a < sqrt(7/2) и
sqrt(7/2) < a <= sqrt(5).
При a^2 > 5
2 - a^2 <> 5 - a^2
2 <> 5
Верно для любых значений а из промежутков a < -sqrt(5) и a > sqrt(5)
То есть, для того, чтобы существовала хотя бы одна точка максимума, нам подходят значения а, принадлежащие промежуткам: (-беск; -sqrt(7/2)) U (-sqrt(7/2); sqrt(7/2)) U (sqrt(7/2); +беск).
У меня без графиков. И вообще не знаю, верно ли.
Ну сначала рассматриваем два случая раскрытия модуля:
1) При x >= a^2
f(x) = x^2 - 10x + 3a^2
Находим производную:
f'(x) = 2x - 10
Точка экстремума:
2x - 10 = 0
x = 5
2) При x < a^2
f(x) = x^2 - 4x - 3a^2
f'(x) = 2x - 4
2x - 4 = 0
x = 2
При подстановке точек экстремума в функцию получим:
f(2) = -10 -3|2 - a^2|
f(5) = -10 -3|5 - a^2|
То есть, нам нужно, чтобы модули не были равны, в этом случае будет одна точка максимума и одна точка минимума.
При a^2 <= 2
2 - a^2 <> 5 - a^2
2 <> 5
Верно при любых значениях а, то есть, подходит любое значение из промежутка
-sqrt(2) <= a <= sqrt(2)
При 2 < a^2 <= 5
2 - a^2 <> -(5 - a^2)
2a^2 <> 7
a <> sqrt(7/2)
То есть, подходят значения из промежутков
-sqrt(5) <= a < -sqrt(7/2),
-sqrt(7/2) < a < -sqrt(2),
-sqrt(2) < a < sqrt(2),
sqrt(2) < a < sqrt(7/2) и
sqrt(7/2) < a <= sqrt(5).
При a^2 > 5
2 - a^2 <> 5 - a^2
2 <> 5
Верно для любых значений а из промежутков a < -sqrt(5) и a > sqrt(5)
То есть, для того, чтобы существовала хотя бы одна точка максимума, нам подходят значения а, принадлежащие промежуткам: (-беск; -sqrt(7/2)) U (-sqrt(7/2); sqrt(7/2)) U (sqrt(7/2); +беск).
(sqrt(x) - корень квадратный из х).
Как-то так, наверно.