Задача состоит в нахождении наибольшего и наименьшего значений функции y=1/2x^2-1/3x3 на заданном промежутке [1,3].
Для нахождения экстремальных значений функции вначале найдем ее производную и приравняем ее к нулю, чтобы найти точки экстремума.
1. Найдем производную функции y по x:
y' = d/dx (1/2x^2-1/3x^3)
y' = 1/2 * d/dx(x^2) - 1/3 * d/dx(x^3)
y' = 1/2 * 2x - 1/3 * 3x^2
y' = x - x^2
2. Приравняем производную к нулю и решим уравнение:
x - x^2 = 0
x(1 - x) = 0
Это уравнение имеет два корня: x = 0 и x = 1.
3. Найдем значения функции y в этих точках.
Для x = 0:
y = 1/2 * 0^2 - 1/3 * 0^3
y = 0
Для x = 1:
y = 1/2 * 1^2 - 1/3 * 1^3
y = 1/2 - 1/3
y = 3/6 - 2/6
y = 1/6
Таким образом, мы получили две точки экстремума: (0, 0) и (1, 1/6).
4. Остается проверить значения функции на концах заданного промежутка [1,3].
Для x = 1:
y = 1/2 * 1^2 - 1/3 * 1^3
y = 1/2 - 1/3
y = 3/6 - 2/6
y = 1/6
Для x = 3:
y = 1/2 * 3^2 - 1/3 * 3^3
y = 1/2 * 9 - 1/3 * 27
y = 9/2 - 9
y = 18/6 - 54/6
y = -36/6
Таким образом, мы получили значения функции на концах заданного промежутка: (1, 1/6) и (3, -6/6).
Итак, максимальное значение функции на заданном промежутке [1,3] равно 1/6 и достигается в точке (1, 1/6), а минимальное значение равно -6/6 и достигается в точке (3, -6/6).
Для нахождения экстремальных значений функции вначале найдем ее производную и приравняем ее к нулю, чтобы найти точки экстремума.
1. Найдем производную функции y по x:
y' = d/dx (1/2x^2-1/3x^3)
y' = 1/2 * d/dx(x^2) - 1/3 * d/dx(x^3)
y' = 1/2 * 2x - 1/3 * 3x^2
y' = x - x^2
2. Приравняем производную к нулю и решим уравнение:
x - x^2 = 0
x(1 - x) = 0
Это уравнение имеет два корня: x = 0 и x = 1.
3. Найдем значения функции y в этих точках.
Для x = 0:
y = 1/2 * 0^2 - 1/3 * 0^3
y = 0
Для x = 1:
y = 1/2 * 1^2 - 1/3 * 1^3
y = 1/2 - 1/3
y = 3/6 - 2/6
y = 1/6
Таким образом, мы получили две точки экстремума: (0, 0) и (1, 1/6).
4. Остается проверить значения функции на концах заданного промежутка [1,3].
Для x = 1:
y = 1/2 * 1^2 - 1/3 * 1^3
y = 1/2 - 1/3
y = 3/6 - 2/6
y = 1/6
Для x = 3:
y = 1/2 * 3^2 - 1/3 * 3^3
y = 1/2 * 9 - 1/3 * 27
y = 9/2 - 9
y = 18/6 - 54/6
y = -36/6
Таким образом, мы получили значения функции на концах заданного промежутка: (1, 1/6) и (3, -6/6).
Итак, максимальное значение функции на заданном промежутке [1,3] равно 1/6 и достигается в точке (1, 1/6), а минимальное значение равно -6/6 и достигается в точке (3, -6/6).