Напиши уравнение окружности, которая проходит через точку 3 на оси Ox и через точку 9 на оси Oy, если известно, что центр находится на оси Oy. (Рассчитай в дробях и дроби запиши несокращёнными.)
Для начала, нам нужно выяснить координаты центра окружности. Из условия задачи мы знаем, что центр окружности находится на оси Oy, поэтому у него должна быть координата x, равная 0 (поскольку точка на оси - это точка с координатой x=0).
Из этого следует, что уравнение окружности будет иметь вид:
(x - 0)^2 + (y - b)^2 = r^2,
где центр окружности имеет координаты (0, b) и радиус равен r.
Мы знаем, что окружность проходит через точку (3, 0) на оси Ox. Подставим эти значения в уравнение и решим уравнение относительно b и r:
(3 - 0)^2 + (0 - b)^2 = r^2,
9 + b^2 = r^2.
Теперь у нас есть уравнение, которое содержит две переменные - b и r. Чтобы решить его, нам нужна ещё одна информация.
Заметим, что окружность также проходит через точку (0, 9) на оси Oy. Подставим эти значения в уравнение и получим:
(0 - 0)^2 + (9 - b)^2 = r^2,
81 + (9 - b)^2 = r^2.
Теперь у нас есть два уравнения:
1) 9 + b^2 = r^2,
2) 81 + (9 - b)^2 = r^2.
Мы можем решить эту систему уравнений методом подстановки или исключения.
Подставим выражение для r^2 из первого уравнения во второе:
81 + (9 - b)^2 = 9 + b^2.
Раскроем скобки:
81 + 81 - 18b + b^2 = 9 + b^2.
Сократим b^2 с обеих сторон уравнения:
162 - 18b = 9.
Перенесём 9 на другую сторону:
162 - 9 = 18b.
Итак, имеем:
153 = 18b.
Разделим обе части уравнения на 18:
8.5 = b.
Таким образом, мы получили значение b, равное 8.5.
Теперь, чтобы найти значение r^2, мы можем подставить b в любое из двух начальных уравнений:
9 + (8.5)^2 = r^2,
9 + 72.25 = r^2,
81.25 = r^2.
Таким образом, окончательное уравнение окружности, проходящей через точку (3, 0) на оси Ox и точку (0, 9) на оси Oy, с центром на оси Oy, будет выглядеть так:
Из этого следует, что уравнение окружности будет иметь вид:
(x - 0)^2 + (y - b)^2 = r^2,
где центр окружности имеет координаты (0, b) и радиус равен r.
Мы знаем, что окружность проходит через точку (3, 0) на оси Ox. Подставим эти значения в уравнение и решим уравнение относительно b и r:
(3 - 0)^2 + (0 - b)^2 = r^2,
9 + b^2 = r^2.
Теперь у нас есть уравнение, которое содержит две переменные - b и r. Чтобы решить его, нам нужна ещё одна информация.
Заметим, что окружность также проходит через точку (0, 9) на оси Oy. Подставим эти значения в уравнение и получим:
(0 - 0)^2 + (9 - b)^2 = r^2,
81 + (9 - b)^2 = r^2.
Теперь у нас есть два уравнения:
1) 9 + b^2 = r^2,
2) 81 + (9 - b)^2 = r^2.
Мы можем решить эту систему уравнений методом подстановки или исключения.
Подставим выражение для r^2 из первого уравнения во второе:
81 + (9 - b)^2 = 9 + b^2.
Раскроем скобки:
81 + 81 - 18b + b^2 = 9 + b^2.
Сократим b^2 с обеих сторон уравнения:
162 - 18b = 9.
Перенесём 9 на другую сторону:
162 - 9 = 18b.
Итак, имеем:
153 = 18b.
Разделим обе части уравнения на 18:
8.5 = b.
Таким образом, мы получили значение b, равное 8.5.
Теперь, чтобы найти значение r^2, мы можем подставить b в любое из двух начальных уравнений:
9 + (8.5)^2 = r^2,
9 + 72.25 = r^2,
81.25 = r^2.
Таким образом, окончательное уравнение окружности, проходящей через точку (3, 0) на оси Ox и точку (0, 9) на оси Oy, с центром на оси Oy, будет выглядеть так:
x^2 + (y - 8.5)^2 = 81.25.