Найти все первообразные данной функции: 1) f(x)=x^6+3x^2 (Х в шестой степени плюс три Х в квадрате)
2)f(x)=2cosx-

Найти первообразную функции,которая проходит через точку А(0;1)

1) Чтобы найти первообразную функции f(x) = x^6 + 3x^2, мы должны найти функцию F(x), производная которой равна данной функции.

Для этого мы будем использовать формулу для нахождения первообразной функции, основанную на основных правилах дифференцирования:

∫(x^n) dx = (x^(n+1))/(n+1) + C,

где n ≠ -1 и C - произвольная постоянная.

Применяя эту формулу, мы находим первообразную для каждого слагаемого функции:

∫(x^6) dx = (x^7)/7 + C1,

∫(3x^2) dx = 3(x^3)/3 + C2.

Замечаем, что вторая первообразная можно упростить:

3(x^3)/3 = x^3.

Таким образом, первообразная для данной функции будет:

F(x) = (x^7)/7 + x^3 + C,

где C = C1 + C2 - произвольная постоянная.

2) Чтобы найти первообразную функции f(x) = 2cos(x), которая проходит через точку А(0;1), мы должны найти функцию F(x), производная которой равна заданной функции и значение которой в точке x=0 равно 1.

Найдем первообразную функции 2cos(x) с помощью интеграла:

∫2cos(x) dx = 2∫cos(x) dx.

Интеграл от cos(x) равен sin(x) + C1, где C1 - произвольная постоянная.

Поэтому:

2∫cos(x) dx = 2(sin(x) + C1),

где C1 - произвольная постоянная.

Теперь мы должны выбрать значение постоянной C1 так, чтобы F(0) = 1.

Подставим x=0 в выражение 2(sin(x) + C1):

2(sin(0) + C1) = 2(0 + C1) = 2C1.

Мы хотим, чтобы это было равно 1, поэтому:

2C1 = 1.

C1 = 1/2.

Таким образом, первообразная функции f(x) = 2cos(x), которая проходит через точку А(0;1), будет:

F(x) = 2(sin(x) + 1/2).

Это решение удовлетворяет условиям задачи: производная F(x) равна исходной функции f(x), а значение F(0) равно 1.