Войти Регистрация Спроси ai-bota

Найдите ctg(α + β), если известно, что tg α = t и (tg α−tg β)/tg(α−β)= 3.

Ответ:

finicot

25.12.2020 21:24

$\mathrm{tg}(\alpha) = t$

$\frac{\mathrm{tg}\alpha - \mathrm{tg}\beta}{\mathrm{tg}(\alpha - \beta)} = 3$

Итак, $\cos\alpha \neq 0$ ,

$\cos\beta \neq 0$

$\mathrm{tg}(\alpha - \beta) \neq 0$ .

$\mathrm{tg}\alpha - \mathrm{tg}\beta = 3\cdot\mathrm{tg}(\alpha - \beta) =$

$= 3\cdot\frac{\sin(\alpha - \beta)}{\cos(\alpha - \beta)} =$

$= 3\cdot\frac{\sin(\alpha)\cos(\beta) - \cos(\alpha)\sin(\beta)}{\cos(\alpha)\cos(\beta) + \sin(\alpha)\sin(\beta)} =$

$= 3\cdot \frac{\mathrm{tg}\alpha - \mathrm{tg}\beta}{1+\mathrm{tg}(\alpha)\mathrm{tg}(\beta)}$

Имеем,

$\mathrm{tg}\alpha - \mathrm{tg}\beta = 3\cdot\frac{\mathrm{tg}\alpha - \mathrm{tg}\beta}{1+\mathrm{tg}(\alpha)\mathrm{tg}(\beta)}$ _____(1)

и

$\mathrm{tg}\alpha - \mathrm{tg}\beta \neq 0$

поскольку в противном случае получим $\mathrm{tg}(\alpha - \beta) = 0$ что противоречит условию.

Тогда разделим (1) на $(\mathrm{tg}\alpha - \mathrm{tg}\beta) \neq 0$

имеем

$1 = \frac{3}{1+\mathrm{tg}(\alpha)\mathrm{tg}(\beta)}$

$1+ \mathrm{tg}(\alpha)\mathrm{tg}(\beta) = 3$

$\mathrm{tg}(\alpha)\mathrm{tg}(\beta) = 2$

$\mathrm{tg}(\beta) = \frac{2}{\mathrm{tg}(\alpha)} = \frac{2}{t}$

$\mathrm{ctg}(\alpha+\beta) = \frac{\cos(\alpha + \beta)}{\sin(\alpha+\beta)} =$

$= \frac{\cos(\alpha)\cos(\beta) - \sin(\alpha)\sin(\beta)}{\sin(\alpha)\cos(\beta) + \cos(\alpha)\sin(\beta)} =$

$= \frac{1 - \mathrm{tg}(\alpha)\mathrm{tg}(\beta)}{\mathrm{tg}\alpha +\mathrm{tg}\beta} =$

$= \frac{1 - 2}{t + \frac{2}{t}} = -\frac{1}{t + \frac{2}{t}} = -\frac{t}{t^2+2}$ .

0,0(0 оценок)

Популярные вопросы: Алгебра

horizontal

07.05.2022 21:06

1)^3 корень квадратный из 27*0,008 2)^4 корень квадратный из 2^12*5^8 3)в числителе ^3 корень квадратный из 432 в знаменателе ^3 корень квадратный из 2 4)решить уравнение...

vtrnnst

23.10.2022 18:39

Найти катеты прямоугольника, если один из катетов на 7 см. больше другого, а гипотенуза этого треугольника равна 13 см. пусть х см. - большой катет, у см. - меньший катет....

РенатаG

28.03.2021 22:52

Зачем нужно тригонометрия если (ты уже выбрал кем хочегь быть)...

milamilmi

28.03.2021 22:52

Sin квадрат x+2sin2x+3cos квадрат x...

настюша290204

28.03.2021 22:52

Если a=п/12 а=п/6 а=п/2 а=2п/3 то тогда sin2a cos3a ?...

malcolmyang

25.11.2022 11:57

Найти большее из двух чисел, сумма которых равна 12, а сумма их квадратов равна 80...

ezio19

25.11.2022 11:57

Как решить это уравнение x(x-5)/0.3=0...

neznaika167

25.11.2022 11:57

Вычислите: √450/√2 с решением если можно...

vidana3

19.03.2023 04:40

√12*50*2/147 (это все как бы под корнем)...

nybik22890qw

19.03.2023 04:40

Заключите в скобки последних два слагаемых,поставив перед скобками знак - 4m-2+3m-a...

Полный доступ

Позволит учиться лучше и быстрее. Неограниченный доступ к базе и ответам от экспертов и ai-bota Оформи подписку