Добрый день! Очень рад, что вы обратились ко мне за помощью. Давайте вместе разберем этот вопрос.
Для начала, чтобы найти наибольшее значение функции, нужно найти точку максимума функции. Для этого используется производная функции.
1. Найдем производную функции y.
Для этого возьмем производную от каждого слагаемого по отдельности и сложим их:
dy/dx = d/dx(-1/3x^(3/2)) + d/dx(6x) + d/dx(7)
2. Найдем производную каждого слагаемого:
d/dx(-1/3x^(3/2)) = (-1/3) * d/dx(x^(3/2))
Мы можем применить правило степенной производной, где производная x^a равна a*x^(a-1). Применяя это правило, получим:
d/dx(-1/3x^(3/2)) = (-1/3) * (3/2) * x^(3/2 - 1) = -1/2 * x^(1/2)
d/dx(6x) = 6 * d/dx(x) = 6 * 1 = 6
d/dx(7) = 0, так как производная константы равна нулю.
3. Решим уравнение dy/dx = 0, чтобы найти точки экстремума.
Приравняем выражение для производной к нулю и решим уравнение:
-1/2 * x^(1/2) + 6 = 0
Перенесем -1/2 * x^(1/2) на другую сторону:
-1/2 * x^(1/2) = -6
Умножим обе части уравнения на -2:
x^(1/2) = 12
Возведем обе части уравнения в квадрат:
(x^(1/2))^2 = 12^2
x = 144
4. Проверим, является ли точка x = 144 точкой максимума.
Для этого рассмотрим знак второй производной функции. Если вторая производная меньше нуля, то точка является максимумом.
Для нахождения второй производной возьмем производную от производной:
d^2y/dx^2 = d/dx(-1/2 * x^(1/2) + 6)
Для начала, чтобы найти наибольшее значение функции, нужно найти точку максимума функции. Для этого используется производная функции.
1. Найдем производную функции y.
Для этого возьмем производную от каждого слагаемого по отдельности и сложим их:
dy/dx = d/dx(-1/3x^(3/2)) + d/dx(6x) + d/dx(7)
2. Найдем производную каждого слагаемого:
d/dx(-1/3x^(3/2)) = (-1/3) * d/dx(x^(3/2))
Мы можем применить правило степенной производной, где производная x^a равна a*x^(a-1). Применяя это правило, получим:
d/dx(-1/3x^(3/2)) = (-1/3) * (3/2) * x^(3/2 - 1) = -1/2 * x^(1/2)
d/dx(6x) = 6 * d/dx(x) = 6 * 1 = 6
d/dx(7) = 0, так как производная константы равна нулю.
Теперь сложим полученные производные:
dy/dx = -1/2 * x^(1/2) + 6 + 0
dy/dx = -1/2 * x^(1/2) + 6
3. Решим уравнение dy/dx = 0, чтобы найти точки экстремума.
Приравняем выражение для производной к нулю и решим уравнение:
-1/2 * x^(1/2) + 6 = 0
Перенесем -1/2 * x^(1/2) на другую сторону:
-1/2 * x^(1/2) = -6
Умножим обе части уравнения на -2:
x^(1/2) = 12
Возведем обе части уравнения в квадрат:
(x^(1/2))^2 = 12^2
x = 144
4. Проверим, является ли точка x = 144 точкой максимума.
Для этого рассмотрим знак второй производной функции. Если вторая производная меньше нуля, то точка является максимумом.
Для нахождения второй производной возьмем производную от производной:
d^2y/dx^2 = d/dx(-1/2 * x^(1/2) + 6)
Найдем производную каждого слагаемого:
d/dx(-1/2 * x^(1/2)) = (-1/2) * d/dx(x^(1/2))
Применяем правило степенной производной:
d/dx(-1/2 * x^(1/2)) = (-1/2) * (1/2) * x^(1/2 - 1) = -1/4 * x^(-1/2)
Вторая производная будет равна:
d^2y/dx^2 = -1/4 * x^(-1/2)
Проверим значение в точке x = 144, подставив его во вторую производную.
d^2y/dx^2 = -1/4 * 144^(-1/2)
Вычислим значение выражения:
d^2y/dx^2 = -1/4 * (1/√144)
d^2y/dx^2 = -1/4 * (1/12)
d^2y/dx^2 = -1/48
Так как вторая производная (-1/48) меньше нуля, то точка x = 144 является точкой максимума.
5. Найдем значение y в точке максимума.
Подставим найденное значение x = 144 в исходную функцию:
y = -1/3 * 144^(3/2) + 6 * 144 + 7
Вычислим значение этого выражения:
y = -1/3 * 144^(3/2) + 864 + 7
Для упрощения выражения найдем значение 144^(3/2):
144^(3/2) = (12^2)^(3/2) = 12^3 = 1728
y = -1/3 * 1728 + 864 + 7
y = -576 + 864 + 7
y = 295
Итак, наибольшее значение функции y = -1/3x^(3/2) + 6x + 7 на отрезке [140; 145] равно 295.