Докажем методом математической индукции.
Пусть дано четное n = 2m, тогда требуется доказать, что
(17^(2m) - 1) делится нацело на 96.
17^(2m) - 1 = (17^2)^m - 1 = 289^m - 1.
Докажем, что (289^m - 1) делится нацело на 96, при любом натуральном m.
1) База индукции: при m=1 имеем 289¹ - 1 = 288 = 3·96 делится нацело на 96.
2) Предположение индукции.
Предположим, что для всех натуральных k≤m 289^k - 1 делится нацело на 96, то есть, 289^k - 1 = 96·A, где А - целое число.
Тогда докажем, что для 289^(k+1) - 1 делится нацело на 96.
3) Индуктивный переход.
289^(k+1) - 1 = 289·289^k - 1 = 289·(289^k - 1 + 1) - 1 =
= 289·(289^k - 1) + 289 - 1 = 289·(289^k - 1) + 288 = W,
т.к. по предположению индукции 289^k - 1 = 96·A, то имеем
W = 289·96·A + 3·96 = 96·( 289·A + 3) и т.к. A - целое, то и (289·A + 3) - тоже целое и 289^(k+1) - 1 делится нацело на 96. Ч.Т.Д.
Докажем методом математической индукции.
Пусть дано четное n = 2m, тогда требуется доказать, что
(17^(2m) - 1) делится нацело на 96.
17^(2m) - 1 = (17^2)^m - 1 = 289^m - 1.
Докажем, что (289^m - 1) делится нацело на 96, при любом натуральном m.
1) База индукции: при m=1 имеем 289¹ - 1 = 288 = 3·96 делится нацело на 96.
2) Предположение индукции.
Предположим, что для всех натуральных k≤m 289^k - 1 делится нацело на 96, то есть, 289^k - 1 = 96·A, где А - целое число.
Тогда докажем, что для 289^(k+1) - 1 делится нацело на 96.
3) Индуктивный переход.
289^(k+1) - 1 = 289·289^k - 1 = 289·(289^k - 1 + 1) - 1 =
= 289·(289^k - 1) + 289 - 1 = 289·(289^k - 1) + 288 = W,
т.к. по предположению индукции 289^k - 1 = 96·A, то имеем
W = 289·96·A + 3·96 = 96·( 289·A + 3) и т.к. A - целое, то и (289·A + 3) - тоже целое и 289^(k+1) - 1 делится нацело на 96. Ч.Т.Д.