В координатной системе даны точки A(−1;7;1) и B(3;11;5). Определи координаты точки M на координатной оси Oy, которая находится на равных расстояниях от данных точек A и B
1) Если точка находится на оси Oy, то координаты
и ,и необходимо рассчитать только координату
...
2. Искомая координата
(введи ответ в виде несокращённой дроби):
Первым шагом нам необходимо вычислить расстояние между точками A и M, а затем расстояние между точками B и M. Если оба расстояния окажутся равными, то точка M будет находиться на равных расстояниях от точек A и B.
Давайте расчитаем эти расстояния:
Расстояние между A и M:
- Расстояние между двумя точками в трехмерном пространстве задается формулой расстояния между двумя точками sqrt((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2), где (x1, y1, z1) и (x2, y2, z2) - координаты соответствующих точек.
- Так как мы хотим найти точку на оси Oy, то координата x будет равна 0.
- Значит координаты точки M будут (0, y, 0).
- Тогда расстояние между A(-1, 7, 1) и M(0, y, 0) будет sqrt((0 - (-1))^2 + (y - 7)^2 + (0 - 1)^2).
- Упростим это выражение: sqrt(1 + (y - 7)^2 + 1).
Расстояние между B и M:
- Расстояние между B(3, 11, 5) и M(0, y, 0) будет sqrt((0 - 3)^2 + (y - 11)^2 + (0 - 5)^2).
- Упростим это выражение: sqrt(9 + (y - 11)^2 + 25).
Теперь мы должны приравнять эти два расстояния и решить полученное уравнение:
sqrt(1 + (y - 7)^2 + 1) = sqrt(9 + (y - 11)^2 + 25).
Возводим обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корней:
1 + (y - 7)^2 + 1 = 9 + (y - 11)^2 + 25.
Упростим это уравнение:
(y - 7)^2 + 2 = (y - 11)^2 + 34.
Раскроем квадраты и упростим:
y^2 - 14y + 49 + 2 = y^2 - 22y + 121 + 34.
Упростим это уравнение:
y^2 - 14y + 51 = y^2 - 22y + 155.
Перенесем все члены уравнения влево:
0 = -8y + 104.
Упростим уравнение еще раз:
8y = 104.
Решим это уравнение относительно y:
y = 104 / 8.
y = 13.
Таким образом, искомая координата точки M на оси Oy составляет 13.
Ответ: 13.