Заранне оч. а₁, в₁, с₁ - основания высот тругольника авс. углы треугольника а₁в₁с₁ равны 90⁰,60⁰, 30⁰. найдите углы треугольника авс

Заковыристая задача. Все очевидно, а доказать несколько сложновато.

Угол СС1В - прямой по построению как пересечение высоты СС1 со стороной АВ
Угол ВВ1С - прямой по построению как пересечение высоты ВВ1 со стороной АС. Отсюда угол СС1В и угол ВВ1С, равные 90⁰, совпадают по свойствам высот - все высоты треугольника пересекаются в одной точке. В данном случае для треугольника АВС - в точке А. 
Отсюда треугольник АВС - прямоугольный.
Если угол В1=60 градусов, то
угол С1=90-60=30⁰,
а угол В=60⁰.  

Для угла С осталось 

С=90-60=30⁰