1.1. Для нахождения первообразной функции f(x) = 3x, мы должны найти функцию F(x), производная которой равна f(x).
Используя свойство линейности интеграла, мы можем заметить, что интеграл от произведения константы на функцию равен произведению константы на интеграл от функции. Также, интеграл от x в степени n равен (x в степени n+1) / (n+1) + C, где C - произвольная постоянная.
Таким образом, интеграл от 3x можно записать как 3 * интеграл от x, что равно 3 * (x в степени 1+1) / (1+1) + C. Или, более просто, 3 * (x в квадрате) / 2 + C.
Ответ: F(x) = 3x²/2 + C.
1.2. Для нахождения первообразной функции f(x) = 4-х – 2, мы должны найти функцию F(x), производная которой равна f(x).
В данном случае, мы можем раскрыть скобки и выделить константу -2: f(x) = 4 - x - 2.
Затем, используя свойство линейности интеграла, мы можем разделить интеграл на два: интеграл от 4, и интеграл от -x.
Интеграл от 4 равен 4x, поскольку интеграл от постоянной равен произведению константы на переменную.
Интеграл от -x равен -(x в квадрате) / 2, поскольку мы можем использовать свойство интеграла от функции x (из предыдущего ответа), и учитывая, что перед переменной стоит негативный коэффициент.
Таким образом, интеграл от f(x) можно записать как интеграл от 4 - интеграл от x - интеграл от 2, что равно 4x - (x в квадрате) / 2 - 2x + C.
Ответ: F(x) = 4x - (x в квадрате) / 2 - 2x + C.
1.3. Для нахождения первообразной функции f(x) = x³/3 + 1, мы должны найти функцию F(x), производная которой равна f(x).
Мы можем использовать свойство линейности интеграла и интеграл от функции x в степени n (из предыдущего ответа) для нахождения первообразной данной функции.
Интеграл от x³/3 равен (x в степени 3+1) / (3+1), что равно x в четвертой степени / 4.
Интеграл от 1 равен x, поскольку интеграл от постоянной равен произведению константы на переменную.
Таким образом, интеграл от f(x) можно записать как интеграл от x³/3 + интеграл от 1, что равно x в четвертой степени / 4 + x + C.
Ответ: F(x) = x в четвертой степени / 4 + x + C.
1.4. Для нахождения первообразной функции f(x) = 1/2x, мы должны найти функцию F(x), производная которой равна f(x).
Мы можем использовать свойство линейности интеграла и интеграл от произведения константы на функцию (из первой задачи) для нахождения первообразной данной функции.
Интеграл от 1/2x можно записать как 1/2 * интеграл от x, что равно 1/2 * (x в степени 1+1) / (1+1) + C. Или, более просто, x²/4 + C.
Используя свойство линейности интеграла, мы можем заметить, что интеграл от произведения константы на функцию равен произведению константы на интеграл от функции. Также, интеграл от x в степени n равен (x в степени n+1) / (n+1) + C, где C - произвольная постоянная.
Таким образом, интеграл от 3x можно записать как 3 * интеграл от x, что равно 3 * (x в степени 1+1) / (1+1) + C. Или, более просто, 3 * (x в квадрате) / 2 + C.
Ответ: F(x) = 3x²/2 + C.
1.2. Для нахождения первообразной функции f(x) = 4-х – 2, мы должны найти функцию F(x), производная которой равна f(x).
В данном случае, мы можем раскрыть скобки и выделить константу -2: f(x) = 4 - x - 2.
Затем, используя свойство линейности интеграла, мы можем разделить интеграл на два: интеграл от 4, и интеграл от -x.
Интеграл от 4 равен 4x, поскольку интеграл от постоянной равен произведению константы на переменную.
Интеграл от -x равен -(x в квадрате) / 2, поскольку мы можем использовать свойство интеграла от функции x (из предыдущего ответа), и учитывая, что перед переменной стоит негативный коэффициент.
Таким образом, интеграл от f(x) можно записать как интеграл от 4 - интеграл от x - интеграл от 2, что равно 4x - (x в квадрате) / 2 - 2x + C.
Ответ: F(x) = 4x - (x в квадрате) / 2 - 2x + C.
1.3. Для нахождения первообразной функции f(x) = x³/3 + 1, мы должны найти функцию F(x), производная которой равна f(x).
Мы можем использовать свойство линейности интеграла и интеграл от функции x в степени n (из предыдущего ответа) для нахождения первообразной данной функции.
Интеграл от x³/3 равен (x в степени 3+1) / (3+1), что равно x в четвертой степени / 4.
Интеграл от 1 равен x, поскольку интеграл от постоянной равен произведению константы на переменную.
Таким образом, интеграл от f(x) можно записать как интеграл от x³/3 + интеграл от 1, что равно x в четвертой степени / 4 + x + C.
Ответ: F(x) = x в четвертой степени / 4 + x + C.
1.4. Для нахождения первообразной функции f(x) = 1/2x, мы должны найти функцию F(x), производная которой равна f(x).
Мы можем использовать свойство линейности интеграла и интеграл от произведения константы на функцию (из первой задачи) для нахождения первообразной данной функции.
Интеграл от 1/2x можно записать как 1/2 * интеграл от x, что равно 1/2 * (x в степени 1+1) / (1+1) + C. Или, более просто, x²/4 + C.
Ответ: F(x) = x²/4 + C.