ОТ В уравнении 19 получается 2 решения:
х=-arctg4+пn
x=п/3+пn

Как понять, принадлежит ли какой-нибудь корень из первого решения (с арктангенсом) отрезку [п/3; 2п/3]

Смотри рисунок.

Арктангенс 4 явно больше чем пи/3, потому что тангенс пи/3 это только корень из трех. Ну и как любой арктангенс, он меньше чем пи/2

Значит число "пи-arctg4" лежит между пи/2 и 2пи/3, и разумеется, принадлежит указанному отрезку.