Войти Регистрация Спроси ai-bota

Пусть y(x) - решение задачи Коши y′–ytgx=sinx, y(0)=1. Найти y(π)

Ответ:

ЛилияЕршова

15.10.2020 15:07

$y'-y{\rm tg}\, x=\sin x$

Домножаем к левой и правой частям дифференциального уравнения на $\cos x$ , имеем $y'\cdot \cos x-y\cdot \sin x=\sin x\cos x$ . Левую часть уравнения можно представить в виде:

$y'\cdot \cos x+y\cdot (\cos x)'=\sin x\cos x$

Замечаем, что левая часть последнего диф. уравнения это дифференцирование произведения двух функций и в правой части применяем синус двойного угла.

$\Big(y\cdot \cos x\Big)'=\frac{1}{2}\sin 2x$

$y\cos x=\int \frac{1}{2}\sin 2xdx\\ \\ y\cos x=-\frac{1}{4}\cos 2x+C\\ \\ y=\Big(C-\frac{1}{4}\cos 2x\Big)\cos x$

Осталось найти частное решение, подставив начальные условия

$1=\Big(C-\frac{1}{4}\cos0\Big)\cdot \cos 0\\ \\ 1=C-\frac{1}{4}\\ \\ C=\frac{5}{4}$

Частное решение данного диф. уравнения: $y=\Big(\frac{5}{4}-\frac{1}{4}\cos 2x\Big)\cos x$

$y(\pi)=\Big(\frac{5}{4}-\frac{1}{4}\cos(2\cdot \pi)\Big)\cdot \cos \pi =\Big(\frac{5}{4}-\frac{1}{4}\cdot 1\Big)\cdot (-1)=-1.$

0,0(0 оценок)

Популярные вопросы: Алгебра

shkuta03

25.05.2023 16:42

Розв яжіть систему нерівностей x^3+x^2-6 =0 x^2-x-6 0...

Khlana30

25.05.2023 16:42

Представьте в виде многочлена выражение: 2) (x+4)(3x-2) 3)(6m+5n)(7m-3n) 4) (x+5)(x2- степенью + x-6)...

maschavyaznina

25.09.2020 21:03

Дано квадратное уравнение 5х^2-4х+с=0 а) при каких параметрах с данное уравнение имеет 2 одинаковых корня? в) найдите корни уравнения....

насвай4

25.09.2020 21:03

При каких x квадратный трёхчлен 2x^2+5x-2,5 принимает значения,меньше 0,5?...

kakniet

08.05.2022 04:57

Выясните, имеет ли корни уравнение 14-15x=2x+15-12x-8-5x и сколько...

110217

08.05.2022 04:57

Решите от станции до озера одну часть пути турист шёл со скоростью 4 км\ч,а оставшуюся часть пути,которая на 1 км больше первоночальной,-со скоростью 6 км\ч.каково расстояние от...

gunggunggung

08.05.2022 04:57

Известно, что m и n - два различных простых числа. назовите все делители числа а) m во 2-й степени умножить на n б) m во 2-й степени умножить на n во 2-й степени....

covavector1

08.05.2022 04:57

10. поезд должен пройти расстояние в 120 км между двумя с некоторой скоростью, но он это расстояние со скоростью на 20 км/ч больше, поэтому он затратил на этот путь на 30 минут...

vladlena217

07.03.2023 14:26

Упростите и найдите значение выражения: при X = 4, y = 2 распишите решение...

Korolevanet

09.02.2023 12:50

, решите неравенство (х-3)(х-2) Выберите правильный ответ: 1) (-2;3) 2) (-3;-2) 3) (2;3)...

Полный доступ

Позволит учиться лучше и быстрее. Неограниченный доступ к базе и ответам от экспертов и ai-bota Оформи подписку