Алгебра: Решить уравнение: sin2x=√2|cosx|

Решить уравнение: sin2x=√2|cosx|

Ответ:

zhasik1337

15.10.2020 14:59

$\sin2x=\sqrt{2} |\cos x|$

1. Раскроем модуль при условии $\cos x\geq 0$ :

$\sin2x=\sqrt{2} \cdot\cos x$

$2\sin x\cos x-\sqrt{2} \cdot\cos x=0$

$\cos x(2\sin x-\sqrt{2}) =0$

$\left[\begin{array}{l} \cos x=0\\ 2\sin x-\sqrt{2} =0\end{array}$

$\left[\begin{array}{l} \cos x=0\\ \sin x=\dfrac{\sqrt{2} }{2}\end{array}$

$\left[\begin{array}{l} x=\dfrac{\pi}{2}+\pi n \\ \left[\begin{array}{l} x=\dfrac{\pi }{4}+2\pi n \\ x=\dfrac{3\pi }{4}+2\pi n \end{array}\end{array},\ n\in\mathbb{Z}$

Однако корни $x=\dfrac{3\pi }{4}+2\pi n$ не удовлетворяют условию раскрытия модуля. Поэтому окончательный ответ:

$\left[\begin{array}{l} x=\dfrac{\pi}{2}+\pi n \\x=\dfrac{\pi }{4}+2\pi n \end{array},\ n\in\mathbb{Z}$

2. Раскроем модуль при условии $\cos x$ :

$\sin2x=-\sqrt{2} \cdot\cos x$

$2\sin x\cos x+\sqrt{2} \cdot\cos x=0$

$\cos x(2\sin x+\sqrt{2} )=0$

$\left[\begin{array}{l} \cos x=0\\ 2\sin x+\sqrt{2} =0\end{array}$

Заметим, что первое уравнение не удовлетворят условию раскрытия модуля. Продолжаем решать только второе уравнение:

$\sin x=-\dfrac{\sqrt{2} }{2}$

$\left[\begin{array}{l} x=-\dfrac{\pi }{4}+2\pi n \\ x=-\dfrac{3\pi }{4}+2\pi n \end{array},\ n\in\mathbb{Z}$

Однако корни $x=-\dfrac{\pi }{4}+2\pi n$ не удовлетворяют условию раскрытия модуля. Поэтому окончательный ответ этого случая:

$x=-\dfrac{3\pi }{4}+2\pi n$

3. Объединим решения, полученные в предыдущих пунктах:

$\left[\begin{array}{l} x=\dfrac{\pi}{2}+\pi n \\x=\dfrac{\pi }{4}+2\pi n\\ x=-\dfrac{3\pi }{4}+2\pi n \end{array},\ n\in\mathbb{Z}$

Или более кратко:

$\left[\begin{array}{l} x=\dfrac{\pi}{2}+\pi n \\x=\dfrac{\pi }{4}+\pi n \end{array},\ n\in\mathbb{Z}$

ответ: $\dfrac{\pi}{2}+\pi n;\ \dfrac{\pi }{4}+\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$

0,0(0 оценок)

Популярные вопросы: Алгебра

d0ruska

01.01.2022 23:26

Имеет ли корни уравнение: х^2 + 5х+ 3=0 3х^2 -2х+5=0...

htntjtjt

03.09.2022 14:06

[tex] {x}^{2} \geqslant 49[/tex]как ! ! последние ! ...

sdadaev

01.01.2022 23:26

Два голубя полетели навстречу друг другу, когда между ними было 1435м. скоростьодного 18м.с. скорость другого23м.с. через сколько времени они встретились...

Tractorust

01.01.2022 23:26

Решите систему уравнений {3a-2b=5 {a-4b=6...

rahimzhan20p0dqkg

30.07.2021 11:54

E. (98-12-47) треугольники a, b,c и a, b2c по-добны. площадь треугольника abc, большеплощади трегольника a1 b1c1 в 9 раз. найди-те сторону треугольника abc2, соответст-вующей...

gluilivti

29.03.2020 06:41

Два оператора должны разослать объявления 870 адресатам. один оператор отсылает 25 сообщений в минуту, а другй 33. сколько минут им понадобиться, чтобы разослать объявление...

Виолетта2003003

29.03.2020 06:41

Найдите такие значения переменной т при которых числа т+6, 3корень из т, т-6 образуют прогрессию...

NastyaVoitelnicha

29.03.2020 06:41

Вычислите значение выражения 2ab-3b при a=2 b=3 ))...

nazarborovichok

29.03.2020 06:41

Решите уравнения 1)18y-21=3y^2-42 2)(x+8)(x+7)=0 3)10+8х=3ч-5...

0123220210

29.03.2020 06:41

Мне нужно лишь начало решения, как правильно расписать дробь...

Полный доступ

Позволит учиться лучше и быстрее. Неограниченный доступ к базе и ответам от экспертов и ai-bota Оформи подписку